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07. Time Series Analysis

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By younghoonko
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07. Time Series Analysis

[toc]

학습 목표

  • 시계열 데이터 이해
  • 데이터 준비와 탐색
  • 시계열 분해 (Time Series Decomposition)
  • 정상성과 차분 (Stationarity & Differencing)
  • ARIMA 계열 모델링
  • 대안 모델과 최신 도구

시계열(Time Series) 데이터 이해

시계열의 정의와 특징

시계열이란?

  • 일정한 시간 간격으로 기록된 관측값의 집합
  • 시간 순서가 매우 중요 (순서가 바뀌면 패턴이 사라짐)

주요 특징

특징설명예시
자기상관 (Autocorrelation)인접한 시점끼리 값이 비슷한 경향오늘 전력 사용량 ≈ 어제 전력 사용량
비정상성 (Non-stationarity)시간이 지나면서 평균·분산이 변함평균·분산 같은 단순 통계로는 전체 구조를 설명하기 어려움

시계열의 구성 요소

구성 요소의미예시분석 포인트
Trend (추세)장기적으로 상승 또는 하락하는 흐름학기 중 유튜브 구독자 수가 꾸준히 증가최근 흐름을 더 강조해야 함
Seasonality (계절성)일정한 간격으로 반복되는 패턴시험 전 매출 급증, 방학 중 감소주기를 고려한 차분, SARIMA 같은 계절형 모델 필요
Cycle (주기성)계절성보다 긴 불규칙한 변동경기 변화로 인한 임대료 등락거시경제 지표와 함께 해석
Residual / Noise (불규칙성)추세·계절성·주기로 설명되지 않는 일시적 변동폭우로 하루 택시 이용 급증스무딩·이상치 탐지로 영향 최소화

시계열을 네 가지 요소로 분해했을 때의 모습

a

요약:

  • 계절성은 주기가 일정하고, 주기성(Cycle)은 주기가 길고 불규칙하다는 점이 다름
  • 시계열 분석은 결국 하나의 그래프 안에 섞여 있는 이 네 가지 성분을 구분해서 보는 것에서 시작함

데이터 준비와 탐색

AirPassengers 데이터

  • 1949년부터 1960년까지 국제선 여객 수를 월별로 기록한 데이터
  • 장기 추세와 뚜렷한 계절성을 동시에 관찰할 수 있는 대표적인 예제
  • 누락된 월, 문자열 형태의 날짜, 시간대 미지정 등 시계열 전처리에서 자주 만나는 문제를 한 번에 연습할 수 있음
  • Dataset: AirPassengers 다운로드

시계열 분석이란?

  • 단순히 날짜가 포함된 데이터를 다루는 것이 아니라, 시간의 흐름에 따라 규칙적으로 발생하는 데이터를 이해하고 예측하는 과정
  • 컴퓨터(특히 pandas)가 “이건 시간에 따라 변화하는 데이터야”라고 인식하도록 형태를 바꿔 주는 것이 첫 단계

a

  • 시간이 지날수록 여객 수가 꾸준히 증가(추세)하고
  • 매년 비슷한 시기에 오르내림이 반복(계절성)되며
  • 뒤로 갈수록 오르내림의 폭이 점점 커짐 → 뒤에서 나오는 승법모형, 로그 변환과 연결됨

시간 인덱스 처리

시계열 데이터를 다룰 때 가장 먼저 확인할 것

  • “시간 정보가 규칙적인 간격으로 정렬되어 있는가?”
  • 날짜가 문자열로 남아 있거나, 몇 달이 빠져 있는 채로 분석하면 이후 모델링 단계에서 오류 발생

처리 절차

  1. 원시 데이터 구조 확인
    • read_csv() 후 head()로 열 이름과 값 범위를 바로 확인
    • 시간 순서 컬럼을 잘못 이해하면 이후 변환에서 오류 발생
  2. 날짜 컬럼을 datetime으로 변환
    • "Month" 컬럼은 문자열 상태로 들어옴
    • 변환하지 않으면 asfreq, 이동평균, 시각화 등 pandas의 시계열 함수를 사용할 수 없음
  3. 시간 인덱스 설정과 간격 강제
    • set_index("Month").asfreq("MS") → 매월 첫 날(Month Start) 기준으로 인덱스를 맞춤
    • 빠진 달이 있으면 그 자리에 NaN이 생기므로 결측을 눈으로 확인할 수 있음

.asfreq() 메서드

.asfreq(): 시계열 데이터의 주기(frequency)를 설정하거나 변경할 때 사용하는 메서드

강의 옵션최신 pandas의미설명예시 인덱스
"A""YE"연도별 (Annual)매년 12월 31일 기준2020-12-31, 2021-12-31
"AS""YS"연초 기준 (Annual Start)매년 1월 1일 기준2020-01-01, 2021-01-01
"Q""QE"분기별 (Quarter End)3월, 6월, 9월, 12월 말일2020-03-31, 2020-06-30
"QS""QS"분기 시작 (Quarter Start)분기 첫 달 1일2020-01-01, 2020-04-01
"M""ME"월말 기준 (Month End)매월 말일2020-01-31, 2020-02-29
"MS""MS"월초 기준 (Month Start)매월 1일2020-01-01, 2020-02-01
"W""W"주간 (Weekly)매주 일요일 (기본값)2020-01-05, 2020-01-12
"W-MON""W-MON"월요일 기준 주간매주 월요일 기준2020-01-06, 2020-01-13
"D""D"일별 (Daily)하루 단위2020-01-01, 2020-01-02
"B""B"영업일 (Business Day)주말을 제외한 평일2020-01-01, 2020-01-02
"H""h"시간별 (Hourly)1시간 단위2020-01-01 00:00, 01:00
"T" 또는 "min""min"분 단위 (Minute)1분 단위2020-01-01 00:00, 00:01
"S""s"초 단위 (Second)1초 단위2020-01-01 00:00:00, 00:00:01

(중요!!) pandas 버전에 따른 차이

  • pandas 2.2부터 "A", "AS", "Q", "M", "H", "T", "S"는 경고(Deprecated)가 나오고
  • pandas 3.x에서는 오류(ValueError)가 발생함 → 직접 실행해서 확인한 결과
  • 따라서 최신 환경에서는 오른쪽 열(최신 pandas)의 이름을 사용해야 함
  • "MS", "QS", "W", "D", "B"처럼 이름이 그대로인 옵션은 어느 버전에서나 동작함

타임존(Time Zone) 명시 필요성

타임존이란?

  • 전 세계를 기준시(UTC, Coordinated Universal Time)로 나눈 표준 시간대
    • 한국: UTC+09:00
    • 미국 뉴욕: UTC-05:00 (서머타임 기간에는 UTC-04:00)
    • 동일한 순간이라도 위치에 따라 시각 표기가 다름

언제 신경 써야 할까?

  • AirPassengers 데이터는 과거 기록이라 시간대 정보가 없음 → 무시해도 무방
  • 하지만 서버 로그처럼 UTC 기준으로 쌓이는 데이터라면
    • 원본 타임존을 명시하고
    • 분석 대상 지역에 맞춰 변환하는 과정을 거쳐야 함

타임존을 처리하지 않으면?

  • 일중(daily) 패턴 분석에서 시간이 어긋난 결과를 얻을 수 있음
  • 예: UTC로 기록된 데이터를 그대로 보면, 한국 시간 오전 9시 출근 시간대의 피크가 0시에 있는 것처럼 보임

실습 코드: AirPassengers 데이터 실습

결측치와 이상치 처리

결측치(Missing Value) 확인

결측치란?

  • 데이터가 일부 누락된 상태
  • 원인: 센서 오류, 수집 누락, 시스템 문제, 통신 지연, 측정 중단
  • 영향: 평균·분산·상관계수 왜곡, 모델 학습 오류 발생
  • 분석과 모델 학습에 직접 영향을 주므로 반드시 탐지하고 적절히 보정해야 함

해결 방법

  • 보간(Interpolation)
  • 이전 값 대체(Forward Fill)
  • 도메인 지식 기반 보정

결측치 실습 - Air Quality Dataset

데이터 특징

  • 시간별 또는 일별로 측정한 대기 오염 물질(CO, NOx, Benzene 등) 데이터
  • 일부 시점에 결측치 또는 비정상값(-200 등)이 포함되어 있음
    • -200은 실제 측정값이 아니라 측정 실패를 표시한 값 → 결측으로 바꿔서 처리해야 함
  • Dataset: Air Quality Dataset

실습 목표

  • 시계열 인덱스 처리 및 기본 사항 확인
  • 결측치 탐지 및 보정 (보간, ffill/bfill 등)
  • 이상치 탐지 및 보정
  • 대기질 추세 분석

의존성 설치

  • 엑셀 파일을 읽을 때 ImportError: Missing optional dependency 'openpyxl'가 나오면 pip install openpyxl로 설치

실습 코드: Air Quality 실습 코드

a

  • CO 농도를 시간 순서로 그린 결과
  • 값이 매우 촘촘하고 변동이 커서, 그대로는 추세를 읽기 어려움 → 뒤에서 이동평균으로 정리

결측치 보정 방법

방법설명특징
interpolate()이전·다음 값의 선형 관계를 기반으로 보간연속적인 시계열에 적합
ffill() (forward fill)직전 관측값으로 결측치를 채움센서 일시 오류에 유용
bfill() (backward fill)이후 관측값으로 결측치를 채움데이터 앞부분의 공백에 사용

선형보간법(Linear Interpolation)

선형보간법이란?

  • 빠진 값을 이전 값과 다음 값을 직선으로 연결해서 그 중간 값으로 채워 넣는 방법
  • “결측된 구간에서도 값이 일정한 속도로 변한다”고 가정하고 그 사이의 값을 계산
\[y(x) = y_1 + \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)\]
시간온도(℃)
10시20
11시NaN (측정 누락)
12시24
  • 10시엔 20℃, 12시엔 24℃이므로 “11시는 중간쯤인 22℃일 것”이라고 선형적으로 추정
  • 위 수식에 넣으면 $y(11) = 20 + \frac{24-20}{12-10}(11-10) = 22$

같은 예시에 세 가지 방법을 적용하면 다음과 같음 (직접 실행해서 확인)

방법10시11시12시
interpolate()202224
ffill()202024
bfill()202424

실습 코드: 결측치 보정 전·후 비교

a

  • 위: 보정 전 (결측 구간이 비어 있음)
  • 아래: 보간 + fill 적용 후 (빈 구간이 채워져 연속적인 시계열이 됨)

이상치(Outlier) 처리

이상치란?

  • 정상 패턴에서 벗어난 비정상적인 값
  • 원인: 센서 오작동, 외부 환경 요인
  • 영향: 평균 왜곡, 회귀 기울기의 비정상적 변화

탐지 방법

① IQR(사분위 범위) 기반 탐지

\[IQR = Q_3 - Q_1\] \[\text{Limit}_{lower} = Q_1 - 1.5 \times IQR, \qquad \text{Limit}_{upper} = Q_3 + 1.5 \times IQR\]
  • 이 범위를 벗어나는 값을 이상치로 판단

② 이동평균 편차 확인

\[\lvert x_t - \bar{x}_t \rvert > k \times \sigma_t\]
  • $\bar{x}_t$: 최근 일정 구간의 평균
  • $\sigma_t$: 최근 구간의 표준편차
  • $k$: 임계값 (보통 2~3)
  • 전체 평균이 아니라 최근 구간의 평균과 비교하므로, 추세가 있는 시계열에서도 쓸 수 있음

③ 도메인 기준 임계값 설정 → 필요하면 보정 또는 제거

이상치 보정 방법

방법설명특징
삭제(drop)명백한 오류값 제거데이터 손실 가능
평균/중앙값 대체주변 통계값으로 치환극단값 완화
보간(interpolation)시간 흐름을 고려한 선형 대체연속성 유지
윈도우 스무딩급격한 변화 완화장기 추세 반영에 유리

이동평균과 스무딩

이동평균(Moving Average)

  • 일정한 창(window)에 포함된 관측값의 평균
  • 단기 변동을 완화하고 장기 추세를 강조
  • 창 크기 ↑ → 노이즈 ↓, 하지만 반응 속도가 느려짐 → 분석 목적에 맞게 적정 값 선택
  • 가중 이동평균(Weighted Moving Average)이나 지수평활(Exponential Smoothing)처럼 최근 관측치에 더 큰 가중치를 주는 변형도 실무에서 자주 사용

윈도우 스무딩(Window Smoothing)

  • 시계열의 단기적인 요동(잡음)을 완화하고
  • 전체적인 장기 추세(trend)를 부드럽게 보기 위해 사용하는 기법
\[\tilde{y}_t = \frac{1}{n} \sum_{i=t-n+1}^{t} y_i\]
  • $\tilde{y}_t$: 스무딩(평활화)된 값
  • $n$: 윈도우 크기 (예: 3시간, 7일 등)
  • $y_i$: 시점 $i$의 실제 관측값

이상치 탐지 및 중앙값 보정 실습

실습 코드: 이상치 탐지 및 시각화

a

  • IQR 방법으로 탐지한 이상치(빨간 점)
  • 겨울철(2004-11 ~ 2005-01)에 이상치가 집중되어 있음

실습 코드: 이상치 탐지 후 중앙값 보정

a

  • 회색: 보정 전, 파란색: 중앙값으로 보정 후
  • 빨간 점으로 표시된 이상치가 중앙값으로 대체되어 그래프의 위쪽 끝이 낮아짐

주의할 점

  • 겨울철에 이상치가 몰려 있다는 것은 실제로 그 시기에 오염이 심했을 가능성도 있다는 뜻
  • IQR은 계절성을 고려하지 않는 기준이므로, 무조건 보정하기 전에 센서 오류인지 실제 현상인지 도메인 관점에서 확인해야 함

종합 실습 - 대기질 추세 분석

분석 관점설명
장기 추세 (Long-term Trend)1년 단위로 CO, NOx, Benzene 등의 평균 농도 변화 분석 (예: 겨울철 오염 증가)
계절별 변화 (Seasonality)월별 또는 분기별 평균값을 비교해 봄·여름·가을·겨울 간 대기질 차이 탐색
일중 패턴 (Daily Pattern)하루 중 오전/오후/야간의 오염물질 변화 관찰 (예: 출퇴근 시간대 CO 증가)
센서 간 상관관계여러 센서(PT08.S1~S5)와 오염물질 간의 관계 파악

실습 코드: 대기질 종합 실습

장기 추세 (30일 이동평균)

a

  • NOx는 2004년 9월 이후 급격히 증가해 11~12월에 최고치를 보이고 이후 감소
  • NO2도 비슷한 시기에 완만하게 증가

계절별 변화 (월별 평균)

a

  • NOx의 월평균이 늦가을~겨울(11~12월)에 가장 높음 → 겨울철 오염 증가

일중 패턴 (시간대별 평균)

a

  • 오전 8~9시와 저녁 18~19시에 NOx가 크게 상승 → 출퇴근 시간대의 교통량과 연결
  • 새벽 3~5시에 가장 낮음

센서 간 상관관계 (피어슨)

a

  • CO와 C6H6(Benzene)의 상관계수 0.82, CO와 NOx 0.79로 높은 양의 상관
  • 상관이 높다는 것은 함께 움직인다는 뜻이지, 하나가 다른 하나의 원인이라는 뜻은 아님

시계열 분해(Time Series Decomposition)

시계열 분해란?

  • 시계열 데이터는 단순히 시간에 따른 값의 나열이 아니라, 다양한 패턴의 합성으로 이루어짐
  • 시계열 분해: 합쳐져 있는 패턴을 성분별로 분리하는 과정

시계열 분해를 하는 이유

목적설명예시
구조 이해추세·계절·노이즈를 분리하여 패턴 파악온도 상승 + 계절 변동
예측 개선비정상성 제거로 모델 성능 향상ARIMA 학습 안정화
이상 탐지잔차를 통해 예외적 사건 탐색폭염으로 인한 전력 급등
해석력 향상각 요인의 기여도를 설명매출 상승 원인 분리

시계열의 구성 요소 (4가지 성분)

\[Y_t = T_t + S_t + C_t + I_t\]
구성 요소설명예시
추세 (Trend, $T_t$)장기간에 걸쳐 증가하거나 감소하는 전반적 경향평균기온 상승, 판매량 증가
계절성 (Seasonality, $S_t$)일정 주기마다 반복되는 패턴월별 전기 사용량, 요일별 교통량
순환성 (Cyclic, $C_t$)경기 변동과 같은 비정기적 장기 요동경기 침체, 호황 주기
불규칙성 (Irregular, $I_t$)예측 불가능한 우연적 요인천재지변, 이벤트 효과
  • 대부분의 분석에서는 $C_t$와 $I_t$를 합쳐서 잔차(residual)로 다룸

분해 방식: 가법모형 vs. 승법모형

구분가법모형 (Additive)승법모형 (Multiplicative)
수식$Y_t = T_t + S_t + I_t$$Y_t = T_t \cdot S_t \cdot I_t$
결합 방식각 성분이 더해짐각 성분이 곱해짐
언제 쓰나변동 폭이 일정할 때 (예: 월별 온도 변화)변동 폭이 시간에 따라 커질 때 (예: 매출이 커지면서 변동 폭도 커짐)
계절 성분 해석추세에 몇을 더하는지 (단위: 원래 값)추세에 몇 배를 곱하는지 (1 근처의 비율)
  • 승법모형에 로그를 취하면 $\log Y_t = \log T_t + \log S_t + \log I_t$로 가법모형이 됨
  • AirPassengers처럼 뒤로 갈수록 진폭이 커지는 데이터는 승법모형(또는 로그 변환 후 가법모형)이 더 적합

시계열 분해 실습

의존성 설치: pip install statsmodels

실습 코드: 시계열 분해 실습

가법(Additive) 모형 적용 결과

a

  • 위에서부터 원본(PM10) → 추세(Trend) → 계절성(Seasonal) → 잔차(Resid)
  • 계절 성분이 약 -7 ~ +5처럼 원래 값의 단위로 더해지는 양으로 나타남

승법(Multiplicative) 모형 적용 결과

a

  • 같은 데이터지만 계절 성분이 약 0.93 ~ 1.06처럼 1 근처의 비율로 나타남
  • 잔차도 0이 아니라 1을 중심으로 분포 → 곱셈 구조이기 때문

요약

  • 두 그래프의 모양은 비슷하지만 값의 의미가 다름
  • 가법은 “추세에 얼마를 더하는가”, 승법은 “추세에 몇 배를 곱하는가“로 읽어야 함

정상성과 차분(Stationarity & Differencing)

정상성(Stationarity)

정상성이란?

  • 시간이 지나도 데이터의 통계적 성질이 변하지 않는 성질
항목내용
정의시간에 따라 평균, 분산, 공분산이 일정한 시계열
의의모델이 안정적으로 동작하고 미래 예측의 타당성을 확보
비정상 예시꾸준히 증가하는 매출, 계절적 반복이 있는 데이터
정상 예시평균을 중심으로 진동하는 노이즈형 데이터

정상성이 필요한 이유

  • 전통적 시계열 모델(ARIMA 등)은 데이터가 정상(stationary)일 때만 통계적으로 타당한 예측이 가능
  • 과거의 평균·분산이 미래에도 유지되어야, 과거로 학습한 모델을 미래에 적용할 수 있기 때문

단위근(Unit Root)

단위근이란?

  • “시계열이 자기 자신의 과거 값에 지나치게 의존하는 상태”
  • 즉, 이전 시점의 영향이 시간이 지나도 사라지지 않고 누적되는 경우
\[y_t = \phi\, y_{t-1} + \epsilon_t\]
  • $\phi$: 자기회귀 계수, $\epsilon_t$: 백색 잡음
  • $\phi = 1$이면 오차가 계속 누적되어 시간이 지날수록 평균과 분산이 계속 변함 → 비정상 시계열
  • $\lvert \phi \rvert < 1$이면 과거 충격의 영향이 점점 줄어들어 정상 시계열이 됨
현상의미
평균이 일정하지 않음시간에 따라 평균이 변함
분산이 증가시간이 지날수록 변동성이 커짐
충격이 누적일시적 변동이 장기적으로 영향을 미침
  • 예: 주가, 환율 → 한 번의 급등이 이후에도 누적되어 남음

ADF Test (Augmented Dickey-Fuller Test)

“시계열에 단위근이 존재하는가?”를 검정하는 통계적 방법

항목설명
귀무가설 ($H_0$)단위근 존재 → 비정상 시계열
대립가설 ($H_1$)단위근 없음 → 정상 시계열
판단 기준p-value < 0.05 → 귀무가설 기각 → 정상성 확보
결과의미
p-value < 0.05정상 시계열 (차분 불필요)
p-value ≥ 0.05비정상 시계열 (차분 필요)
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from statsmodels.tsa.stattools import adfuller

adf_result = adfuller(df["Passengers"])
print(f"ADF Statistic: {adf_result[0]:.3f}")
print(f"p-value: {adf_result[1]:.4f}")
  • adf_result[0]: 검정 통계량, adf_result[1]: p-value
  • 주의: ADF의 귀무가설은 “비정상”이므로, 일반적인 검정과 반대로 p-value가 작아야 정상이라는 점을 헷갈리지 말 것

차분(Differencing)

차분이란?

  • 이전 시점의 값을 현재 시점에서 빼서, 변화량으로 이루어진 새로운 시계열을 만드는 과정
  • 비정상 시계열은 차분을 통해 정상 시계열로 변환 가능
차분 종류수식설명
1차 차분$Y’t = Y_t - Y{t-1}$추세(Trend) 제거
계절 차분$Y’t = Y_t - Y{t-s}$ ($s$: 계절 주기)계절성(Seasonality) 제거
복합 차분1차 차분 + 계절 차분을 순차 적용추세와 계절성이 모두 있을 때
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# 1차 차분 (Trend 제거)
df["diff1"] = df["Passengers"].diff(periods=1)

# 계절 차분 (Seasonality 제거)
# 12는 월별 데이터에서 1년 주기(12개월)를 의미
df["diff_seasonal"] = df["Passengers"].diff(periods=12)

# 복합 차분: 추세 + 계절성 모두 제거
df["diff_both"] = df["Passengers"].diff(periods=1).diff(periods=12)
  • 차분을 하면 앞부분에 빈 값(NaN)이 생김 → 1차 차분은 1개, 계절 차분은 12개, 복합 차분은 13개
  • 모델에 넣기 전에 dropna() 등으로 처리해야 함

변동성(분산) 안정화

시계열의 변동 폭이 일정하지 않은 경우, 로그 변환이나 Box-Cox 변환으로 분산을 안정화할 수 있음

방법수식설명
로그 변환$Y’_t = \log Y_t$값이 커질수록 변동 폭이 커지는 경우 사용
Box-Cox 변환$Y’_t = \dfrac{Y_t^{\lambda} - 1}{\lambda}$ ($\lambda \neq 0$)로그보다 일반화된 형태, 통계적 안정화에 효과적
  • $\lambda$: 변환 파라미터, 값에 따라 데이터의 형태가 달라짐
  • $\lambda$는 보통 MLE(최대우도추정)로 자동 추정됨
  • $\lambda = 0$일 때는 로그 변환과 같음 ($Y’_t = \log Y_t$)
  • 로그와 Box-Cox 모두 값이 양수($Y_t > 0$)일 때만 사용할 수 있음

a

  • $\lambda$가 클수록 큰 값을 더 크게 늘리고, $\lambda$가 작을수록(0, -1) 큰 값을 강하게 눌러 줌
  • 변동 폭이 커지는 데이터는 $\lambda$를 작게 잡아 큰 값의 변동을 줄임

차분 실습

실습 코드: 정상성과 차분 실습

a

그래프해석
원본 시계열1949~1960년 국제 항공 여객 수. 시간이 지날수록 꾸준히 증가(추세)하고 연도마다 주기적 변동(계절성)이 반복됨 → 비정상 시계열의 전형적인 특징
1차 차분전 시점과의 차이를 계산해 추세가 제거됨. 평균이 일정한 중심을 기준으로 진동하지만, 계절성은 여전히 남아 있음
계절 차분 (12개월)계절적 반복 패턴이 제거됨. 특정 주기에 따른 진폭 변화가 줄고, 평균이 일정하게 유지되는 정상 시계열에 가까워짐

요약

  • 1차 차분은 추세, 계절 차분은 계절성을 지움
  • 1차 차분 그래프를 보면 뒤로 갈수록 진폭이 커짐 → 분산은 아직 일정하지 않으므로 로그 변환을 함께 고려할 수 있음

ARIMA 계열 모델링

ARIMA란?

ARIMA (AutoRegressive Integrated Moving Average)

  • 비정상 시계열을 차분을 통해 정상화한 뒤
  • AR(자기회귀)과 MA(이동평균) 요소를 결합하여 예측하는 모델
구성 요소의미설명
AR($p$)AutoRegressive과거 $p$개의 값이 현재 값에 영향을 미침
I($d$)Integrated$d$차 차분을 통해 비정상성을 제거
MA($q$)Moving Average과거 $q$개의 오차항이 현재 값에 영향을 미침
  • 여기서 MA는 앞에서 본 이동평균 스무딩과 다른 개념
    • 스무딩의 이동평균: 과거 관측값의 평균
    • ARIMA의 MA: 과거 예측 오차의 가중합

ARIMA 파라미터와 확장 모델

모델구성설명
$ARIMA(p, d, q)$$p$: AR 차수, $d$: 차분 횟수, $q$: MA 차수비계절형 시계열 모델
$SARIMA(p, d, q)(P, D, Q)_s$$(P, D, Q)$: 계절 성분 차수, $s$: 주기 (예: 12개월)계절성이 있는 시계열 모델
모델형태설명
$ARIMA(p, d, q)$기본형추세 중심
$SARIMA(p, d, q)(P, D, Q)_s$계절형계절성 주기 $s$ 포함
$ARIMAX$ARIMA + 외생변수외부 요인(X 변수)을 함께 고려
$SARIMAX$SARIMA + 외생변수계절성 + 외생변수
  • 외생변수(Exogenous Variable): 예측하려는 시계열 바깥에서 영향을 주는 변수 (예: 기온, 공휴일, 광고비)

모델 성능지표

번호지표의미해석 기준 / 특징
1AIC (Akaike Information Criterion)모델의 적합도 + 복잡도(파라미터 수)를 동시에 고려값이 작을수록 좋음, 여러 모델을 비교할 때 AIC가 작은 모델 선택
2BIC (Bayesian Information Criterion)AIC와 비슷하지만 복잡도에 더 강한 패널티값이 작을수록 좋음
3coef (Coefficient)AR, MA, Trend 등 각 항의 추정 계수부호(+, −)로 영향 방향 해석
4std err (Standard Error)계수 추정의 불확실성 정도작을수록 신뢰도 높음
5z (z-statistic)계수의 유의성 검정 통계량 (coef / std err)절댓값이 크면 계수가 통계적으로 유의할 가능성이 높음
6P>|z| (p-value)귀무가설($H_0$: 계수 = 0)이 맞다고 할 때, 지금만큼 극단적인 z가 나올 확률0.05보다 작으면 계수가 유의함
7Ljung–Box (Q)잔차의 자기상관(독립성) 검정p > 0.05 → 잔차가 독립적, 모델 적합 양호
8Jarque–Bera (JB)잔차의 정규성 검정 (왜도·첨도 이용)p > 0.05 → 정규분포 가정 만족
9Heteroskedasticity (H)잔차의 등분산성 여부값이 1에 가까울수록 등분산 (Prob(H) > 0.05면 등분산 가정 만족)
10Durbin–Watson잔차의 1차 자기상관 검정 (0~4 범위)2에 가까울수록 자기상관 없음, 1보다 작으면 양의 상관, 3보다 크면 음의 상관

지표를 볼 때의 핵심

  • AIC/BIC: 여러 모델 중에서 무엇을 고를지 결정
  • coef ~ P>|z|: 각 항이 의미 있는지 판단
  • Ljung–Box, JB, H: 잔차가 백색 잡음처럼 남았는지 확인 → 모델이 패턴을 충분히 뽑아냈는지 점검

SARIMAX 모델 출력 결과

$SARIMAX(1, 1, 1)(1, 1, 1)_{12}$를 AirPassengers에 적용한 결과

항목값
No. Observations144
Log Likelihood-456.103
AIC922.205
BIC936.016
HQIC927.812
항coefstd errzP>|z|[0.025, 0.975]
ar.L1-0.22980.401-0.5730.567[-1.016, 0.557]
ma.L1-0.09870.374-0.2640.792[-0.832, 0.634]
ar.S.L12-0.54600.299-1.8250.068[-1.133, 0.041]
ma.S.L120.39590.3521.1250.261[-0.294, 1.086]
sigma2140.294517.9977.7950.000[105.020, 175.569]
잔차 진단값p-value
Ljung-Box (L1) (Q)0.000.95
Jarque-Bera (JB)5.420.07
Heteroskedasticity (H)2.510.01
Skew / Kurtosis0.12 / 4.03-

결과 해석 (앞의 지표 기준을 적용한 해석)

  • Ljung-Box p = 0.95 > 0.05 → 잔차에 자기상관이 거의 없음 → 패턴은 충분히 뽑아냄
  • JB p = 0.07 > 0.05 → 잔차의 정규성 가정은 만족 (다만 경계에 가까움)
  • H = 2.51, p = 0.01 < 0.05 → 잔차 분산이 일정하지 않음 (이분산)
    • 뒤로 갈수록 진폭이 커지는 AirPassengers의 특성 때문
    • 로그 변환 후 모델링하면 개선될 가능성이 있음
  • AR·MA 계수들은 모두 p > 0.05 → 개별 계수는 통계적으로 유의하지 않음
    • 더 단순한 차수를 시도하고 AIC를 비교해 볼 수 있음
  • sigma2(잔차 분산)는 유의함

실습 코드: SARIMAX 실습

a

  • 파란색: 관측값, 주황색: 1년(12개월) 예측값, 음영: 신뢰구간
  • 예측이 추세와 계절 패턴을 그대로 이어 가는 모습
  • 먼 미래일수록 신뢰구간이 넓어짐 → 불확실성 증가

대안 모델과 최신 도구

통계 기반 시계열 모델

Prophet (by Facebook / Meta)

  • 추세(Trend), 계절성(Seasonality), 이벤트(Holiday)를 독립적으로 모델링
  • 각 성분을 더하는 가법(additive) 회귀 구조라 해석이 쉬움
  • 결측치·이상치에 강건(Robust)
  • 공휴일, 정책 변경 등 도메인 이벤트 반영이 쉬움
  • Python / R 모두 지원

TBATS

  • Trigonometric + Box-Cox + ARMA + Trend + Seasonal
  • 다중 계절성(Multiple Seasonality) 처리 가능
    • 예: 7일 주기(주간) + 365일 주기(연간)를 동시에 반영
  • 단점: 계산량이 많아 대규모 데이터에서는 학습이 느림

딥러닝 기반 시계열 모델

LSTM (Long Short-Term Memory)

  • 순환신경망(RNN)의 확장형
  • 장기 의존성(Long-term dependency) 학습
  • 비선형·복잡한 패턴 학습 가능 (주가, 센서, 로그 등)
  • 다변량 시계열 + 외부 요인 입력 가능
  • 단점: GPU 자원이 많이 필요하고 해석이 어려움

TCN (Temporal Convolutional Network)

  • 1D CNN 기반 시계열 모델
  • 시점 순서를 유지한 채 병렬 학습 가능
  • RNN보다 빠르고 안정적
  • 단점: 짧거나 불규칙한 시계열에서는 성능 저하

Transformer 기반 모델

  • Attention 메커니즘으로 시점 간 중요도를 동적으로 학습
  • 대표 모델: Informer, TFT, FEDformer
  • 다변량 시계열 + 외부 변수 입력 가능
  • 고정 주기의 한계를 넘어 복잡한 패턴 학습
  • 단점: 대규모 데이터와 GPU 필요, 해석이 어려움

시계열 예측의 최신 트렌드

  • 딥러닝 + Attention 기반으로 고정 주기의 한계를 극복하는 방향
구분모델장점단점
전통 통계ARIMA / SARIMA해석이 쉽고 데이터가 적어도 동작정상성 가정, 단일 계절성
통계 기반 도구Prophet, TBATS이벤트·다중 계절성 처리TBATS는 학습이 느림
딥러닝LSTM, TCN비선형·다변량 패턴데이터·GPU 필요, 해석 어려움
TransformerInformer, TFT, FEDformer장기·복잡 패턴대규모 데이터·GPU 필요

최종 핵심 정리

  1. 시계열은 시간 순서가 중요한 데이터이며, 추세·계절성·주기·불규칙성으로 구성됨
  2. 분석 전에 날짜를 datetime으로 바꾸고, asfreq()로 간격을 맞추고, 타임존을 확인해야 함
  3. 결측치는 보간·ffill·bfill, 이상치는 IQR·이동평균 편차로 탐지하고 목적에 맞게 보정
  4. 이동평균(윈도우 스무딩)은 노이즈를 줄여 장기 추세를 보여 주지만, 창이 클수록 반응이 느려짐
  5. 시계열 분해는 변동 폭이 일정하면 가법, 커지면 승법 모형을 사용
  6. 전통 모델은 정상성이 필요하며, ADF 검정(p < 0.05면 정상)으로 확인하고 차분·로그/Box-Cox 변환으로 정상화
  7. ARIMA(p, d, q)는 자기회귀·차분·이동평균의 결합이며, 계절성은 SARIMA, 외생변수는 ARIMAX/SARIMAX
  8. 모델은 AIC/BIC로 비교하고, 잔차 진단(Ljung-Box, JB, H)으로 적합도를 확인

End.

University(2026-Second-Semester), Data Science
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