09. Communication Theory_Sampling (Analog to Digital)
아날로그 신호를 디지털로 바꾸는 과정(샘플링, S/H, ADC, 양자화, DAC) 이해, 샘플링된 신호의 스펙트럼이 주기적으로 복제되는 이유와 샘플링 이론(나이퀴스트 율) 유도, sinc 보간과 실제 보간(ZOH, FOH), 에일리어싱과 안티 에일리어싱 필터, 시간제한과 대역제한 신호, 대역통과 신호 샘플링, 정현파 샘플링의 함정, PAM, PDM, PPM 이해
학습 목표
- 디지털 전송의 장점과 아날로그 → 디지털 변환 과정(샘플링 → 양자화 → 부호화) 이해
- S/H, ADC, DAC의 역할과 비트 수, 양자화 레벨의 관계 이해
- 샘플링된 신호의 스펙트럼 \(G_\delta(f) = f_s\sum_m G(f - mf_s)\)를 그래프로 해석
- 샘플링 이론과 나이퀴스트 율 \(f_s = 2W\)의 의미, sinc 보간 공식 유도
- 에일리어싱의 원인과 줄이는 방법(안티 에일리어싱 필터, 오버샘플링)
- 실제 보간(ZOH, FOH)과 인과성, 대역통과 신호 샘플링
- 정현파를 나이퀴스트 율로 샘플링하면 생기는 문제
- PAM, PDM, PPM의 차이
이번 장의 흐름을 한 줄로: 연속 신호를 일정 간격으로 찍으면(샘플링) 주파수 영역에서는 스펙트럼이 \(f_s\) 간격으로 복제된다. 복제본이 겹치지 않으면(= \(f_s \ge 2W\)) 저역 통과 필터 하나로 원래 신호를 완벽히 되살릴 수 있다.
1. 왜 디지털인가
아날로그 신호를 그대로 보내지 않고 디지털로 바꿔 보내는 이유
| 장점 | 의미 |
|---|---|
| 잡음에 강함 | 0과 1만 구분하면 되므로 잡음이 조금 섞여도 원래 비트를 다시 만들 수 있음 (재생 리피터) |
| 통합 전송 | 영상, 음성, 데이터를 모두 비트열로 바꿔 같은 방법으로 전송 |
| 소스와 무관 | 전송 방법이 정보의 종류(음성인지 영상인지)와 거의 무관 |
| 회로 | 반복이 쉽고, 온도 같은 물리적 영향에 덜 민감, 하드웨어 설계가 쉬움 |
| 효율 | 압축으로 정보량을 줄이고, 전송 매체를 더 효율적으로 사용 |
| 신뢰성 | 에러 정정 부호, 채널 보상 기술, 암호화를 적용할 수 있음 |
| 표준화 | 표준 기술을 만들기 쉬움 |
아날로그 → 디지털 변환은 3단계
flowchart LR
A["아날로그 신호<br/>g(t)<br/>시간 연속, 값 연속"] --> B["샘플링<br/>g(nTs)<br/>시간 이산, 값 연속"]
B --> C["양자화<br/>2^b개 레벨 중 하나<br/>시간 이산, 값 이산"]
C --> D["부호화<br/>b비트 이진 코드<br/>010, 011, ..."]
필기: 샘플링은 연속(아날로그 통신) → 이산(디지털 통신)으로 가는 첫 단계. 이번 장의 대부분은 첫 번째 상자인 샘플링이 정보를 잃지 않으려면 얼마나 빨리 찍어야 하는가에 대한 이야기
2. 샘플링의 정의
임의의 신호 \(g(t)\)를 \(T_s\)초마다 한 번씩 찍어 얻은 값들의 수열 \(\{g(nT_s)\}\)
- 샘플링 주기 \(T_s\) [초]와 샘플링 율 \(f_s = \frac{1}{T_s}\) [Hz]는 역수 관계
- 순시 샘플링(instantaneous sampling): 폭이 0인 순간에 값을 찍는 이상적인 샘플링. 수식으로는 각 샘플 시점에 임펄스를 세운 것
- 오른쪽 식이 핵심: 순시 샘플링은 원 신호에 임펄스 열(빗살)을 곱한 것. 임펄스의 체 거르기 성질 \(g(t)\delta(t - nT_s) = g(nT_s)\delta(t - nT_s)\) 때문에 두 식이 같음
샘플링 율에 따른 차이
| 샘플링 율 | \(T_s\) | 결과 |
|---|---|---|
| 높음 (\(f_s \uparrow\)) | 짧음 (\(T_s \downarrow\)) | 샘플이 촘촘해 원본과 거의 비슷함 |
| 중간 | 중간 | 점선(원본)을 대략 따라감 |
| 낮음 (\(f_s \downarrow\)) | 김 (\(T_s \uparrow\)) | 샘플 사이 간격이 길어 빠른 변화를 놓치고, 샘플만 보면 다른(더 느린) 신호처럼 보임 |
샘플링 이론의 근본 질문: 샘플만 가지고 원래 신호를 다시 만들 수 있으려면 얼마나 빨리 샘플링해야 하는가? 답은 5절의 \(f_s \ge 2W\)
3. 샘플링 장치: S/H, ADC, DAC
Sample-and-Hold (S/H)
- 클럭 \(c(t)\)의 개구 시간(aperture time) 동안은 출력이 입력을 그대로 따라가고(sample)
- 개구 시간이 끝나면 그 값을 다음 개구 시간까지 유지(hold)
- 결과는 계단 모양. ADC가 숫자로 바꾸는 동안 입력 값이 변하지 않게 붙잡아 두는 역할
ADC (Analog-to-Digital Converter)
- 입력 전압을 코드(이진수)로 바꾸는 장치
- 출력 방식
- 직렬(Serial) ADC: 비트를 한 줄로 하나씩 순서대로 내보냄
- 병렬(Parallel) ADC: 4비트면 4개의 선으로 한 샘플의 비트를 동시에 내보냄 (그림의 세로 빨간 칸이 한 샘플 = 4비트 binary digit). 선은 많이 필요하지만 빠름
입력-출력 관계와 양자화
3비트 ADC는 입력 범위 \(-V_0\) ~ \(+V_0\) (예: −5 V ~ +5 V)를 \(2^3 = 8\)개 레벨로 나눔
| 코드 | 100 | 101 | 110 | 111 | 000 | 001 | 010 | 011 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 10진(2의 보수) | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
- 코드는 2의 보수: 맨 앞 비트가 1이면 음수. 그래서 100이 가장 작은 값, 011이 가장 큰 값
- 음수 쪽이 4개, 양수 쪽이 3개라 위쪽 끝은 한 칸 모자람 → 사인파의 꼭대기가 잘림(아래 그림 3비트의 평평한 윗부분)
- 비트 수 \(b\)가 늘면 레벨은 \(2^b\)개로 기하급수적으로 늘고 계단이 촘촘해짐: 3비트 8개, 8비트 256개
3비트와 8비트 양자화, 그리고 양자화 오차
- 양자화 오차는 계단 높이 \(\Delta = \frac{2V_0}{2^b}\)의 절반 이내 (위에서는 3비트 0.125, 8비트 0.004)
- 비트를 하나 늘리면 \(\Delta\)가 절반 → 오차 전력은 \(\frac{1}{4}\) → 신호 대 양자화 잡음비(SQNR)가 약 6 dB씩 좋아짐 (사인파 기준 \(\mathrm{SQNR} \approx 6.02b + 1.76\) dB, 8비트에서 약 49.9 dB이고 직접 계산해도 49.8 dB)
DAC (Digital-to-Analog Converter)
- 코드를 다시 전압으로 바꾸는 장치. ADC의 반대 방향
- 3비트면 8개의 전압 레벨 중 하나를 출력. 출력은 다음 코드가 올 때까지 유지되므로 계단 모양 → 8절의 ZOH가 바로 DAC의 수학적 모델
4. 샘플링된 신호의 스펙트럼
\[G_\delta(f) = f_s\sum_{m = -\infty}^{\infty} G(f - mf_s) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} g(nT_s)\exp(-j2\pi nT_sf)\]필기: 이 식을 그래프로 해석해 보기 (중요). 샘플링 이론, 에일리어싱, 대역통과 샘플링이 모두 이 식 하나에서 나옴
왼쪽 식: 스펙트럼이 \(f_s\) 간격으로 복제된다
- 시간 영역에서 순시 샘플링은 곱셈: \(g_\delta(t) = g(t)\cdot\sum_n \delta(t - nT_s)\)
- 임펄스 열의 푸리에 변환은 주파수 영역의 임펄스 열: \(\sum_n \delta(t - nT_s) \rightleftharpoons f_s\sum_m \delta(f - mf_s)\)
- 시간 영역의 곱은 주파수 영역의 컨볼루션이고, 임펄스와 컨볼루션하면 그 위치로 이동
즉 원래 스펙트럼 \(G(f)\)가 \(0, \pm f_s, \pm 2f_s, \dots\)마다 복사되어 놓이고 높이는 \(f_s\)배가 됨
오른쪽 식: 각 임펄스를 하나씩 변환
\(\delta(t - nT_s) \rightleftharpoons e^{-j2\pi nT_sf}\) (시간 이동 성질)이므로 \(g_\delta(t)\)를 항마다 변환하면 바로 나옴. 이 식은 \(f\)에 대해 주기가 \(f_s\)인 함수(지수 \(e^{-j2\pi nT_sf}\)가 모두 \(\frac{1}{T_s}\) 주기)라는 점에서 왼쪽 식의 “주기적 복제”와 같은 이야기를 함
시간 영역에서 샘플링(이산화) ⟺ 주파수 영역에서 주기화(복제). 2장 푸리에 변환의 쌍대성이 여기서 다시 나타남
5. 샘플링 이론 (Sampling Theorem)
가정
- (a) 유한한 에너지를 가진 \(g(t)\)가 완전한 대역제한(strictly band-limited) 신호: \(W\)보다 큰 주파수 성분이 없음
- (b) 샘플링 간격을 최대 간격 \(T_s = \frac{1}{2W}\), 즉 \(f_s = \frac{1}{T_s} = 2W\)로 둠
그래프로 보기
샘플링 율에 따른 스펙트럼 복제본의 배치
- 원래 스펙트럼은 \(-W\) ~ \(W\)에 있고, 복제본은 \(\pm f_s\)를 중심으로 \(\pm W\)만큼 퍼짐
- 원본의 오른쪽 끝은 \(W\), 첫 복제본의 왼쪽 끝은 \(f_s - W\) → 겹치지 않을 조건은 \(W \le f_s - W\), 즉 \(f_s \ge 2W\)
- 겹치지 않으면 \(-W\) ~ \(W\)만 통과시키는 저역 통과 필터(LPF)로 가운데 원본 하나만 꺼낼 수 있음
수식으로 보기
\(m = 0\) 항을 따로 떼어 쓰면
\[G_\delta(f) = f_sG(f) + f_s\sum_{m \ne 0} G(f - mf_s)\]\(f_s = 2W\)이면 \(-W < f < W\)에서 둘째 항(복제본들)은 정확히 0 (겹치지 않으므로). 따라서
\[G_\delta(f) = f_sG(f) = 2W\,G(f), \qquad -W < f < W\] \[G(f) = \frac{1}{2W}G_\delta(f) = \frac{1}{2W}\sum_{n = -\infty}^{\infty} g\!\left(\frac{n}{2W}\right)\exp\!\left(-\frac{j\pi nf}{W}\right), \qquad -W < f < W\]필기: 왼쪽 \(G(f)\)를 역푸리에 변환하면 \(g(t)\). 그리고 오른쪽은 샘플 값 \(g(n/2W)\)만으로 이루어져 있음 → 샘플 수열 \(\{g(n/2W)\}\)가 \(g(t)\)의 모든 정보를 담고 있다
sinc 보간 공식 유도
\(G(f)\)를 역변환하면 (\(G(f)\)는 \(-W\) ~ \(W\) 밖에서 0이므로 적분 구간이 \(\pm W\))
\[g(t) = \int_{-W}^{W} \frac{1}{2W}\sum_{n} g\!\left(\frac{n}{2W}\right) e^{-j\pi nf/W}\, e^{j2\pi ft}\, df = \sum_{n} g\!\left(\frac{n}{2W}\right)\frac{1}{2W}\int_{-W}^{W} e^{j2\pi f\left(t - \frac{n}{2W}\right)}\, df\](합과 적분의 순서를 바꾸고, \(e^{-j\pi nf/W} = e^{-j2\pi f \cdot \frac{n}{2W}}\)를 합침)
안쪽 적분은 \(\sin x = \frac{e^{jx} - e^{-jx}}{j2}\)를 쓰면
\[\frac{1}{2W}\int_{-W}^{W} e^{j2\pi f\left(t - \frac{n}{2W}\right)}\, df = \frac{1}{2W}\cdot\frac{e^{j2\pi W\left(t - \frac{n}{2W}\right)} - e^{-j2\pi W\left(t - \frac{n}{2W}\right)}}{j2\pi\left(t - \frac{n}{2W}\right)} = \frac{e^{j\pi(2Wt - n)} - e^{-j\pi(2Wt - n)}}{j2\pi(2Wt - n)} = \frac{\sin(\pi(2Wt - n))}{\pi(2Wt - n)} = \mathrm{sinc}(2Wt - n)\]따라서 보간 공식(interpolation formula)
\[g(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} g\!\left(\frac{n}{2W}\right)\mathrm{sinc}(2Wt - n)\]- \(\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin \pi x}{\pi x}\)는 보간 함수(interpolation function): 샘플 값 사이를 채우는 함수
- \(\mathrm{sinc}(2Wt - n)\)은 \(t = \frac{n}{2W}\) (자기 샘플 위치)에서 1, 다른 샘플 위치 \(t = \frac{k}{2W}\) (\(k \ne n\))에서는 0 → 복원된 신호가 모든 샘플 점을 정확히 지나감
- 샘플 사이의 값은 모든 sinc의 꼬리가 더해져서 만들어짐
sinc 보간: 각 샘플이 세운 sinc(점선)의 합이 원 신호와 겹침
샘플링 이론의 두 문장
- \(W\) Hz보다 낮은 주파수 성분만 가진 유한 에너지 대역제한 신호는 \(\frac{1}{2W}\)초 간격의 순시 값만으로 완전히 표현할 수 있다
- 그런 신호는 초당 \(2W\)개로 샘플링된 값으로부터 원래 신호를 완벽하게 복원할 수 있다
나이퀴스트 율 (Nyquist rate)
| 용어 | 값 | 의미 |
|---|---|---|
| 나이퀴스트 율 | \(2W\) [샘플/초] | 대역폭 \(W\)인 신호를 복원할 수 있는 최소 샘플링 율 |
| 나이퀴스트 간격 | \(\frac{1}{2W}\) [초] | 나이퀴스트 율의 역수, 최대 샘플링 간격 |
주의: “나이퀴스트 율로 샘플링하면 항상 복원된다”는 경계에 성분이 없을 때만 맞음. 정확히 \(W\)에 정현파 성분이 있으면 \(f_s = 2W\)로는 복원이 안 됨(10절, 필기에 “중요” 표시). 실제로는 \(f_s > 2W\)로 잡아야 안전
수치 확인: 샘플을 많이 쓸수록 복원 오차가 줄어듦
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
import numpy as np
# 최고 주파수 0.43 Hz인 대역제한 신호를 fs = 1 Hz (> 2 x 0.43)로 샘플링
fr, am, ph = [0.08, 0.17, 0.31, 0.43], [1.0, 0.7, 0.5, 0.35], [0.3, 1.1, 2.0, 4.0]
x = lambda t: sum(a * np.cos(2 * np.pi * q * t + p) for a, q, p in zip(am, fr, ph))
t = np.linspace(-5, 5, 1001)
for N in [50, 500, 5000]:
n = np.arange(-N, N + 1) # 사용한 샘플 범위
rec = (x(n)[None, :] * np.sinc(t[:, None] - n[None, :])).sum(axis=1)
print(f"샘플 {2 * N + 1}개: 최대 오차 {np.max(np.abs(rec - x(t))):.2e}")
1
2
3
샘플 101개: 최대 오차 1.95e-03
샘플 1001개: 최대 오차 5.01e-05
샘플 10001개: 최대 오차 4.58e-06
- 식대로라면 오차는 0이어야 하지만, 실제로는 무한히 많은 샘플을 더할 수 없어 꼬리가 잘림 → 샘플을 늘릴수록 오차가 줄어듦
- 이것이 8절 “sinc 보간은 이론적으로 완벽하지만 실제로는 불가능”의 이유
6. 에일리어싱 (Aliasing)
정의와 원인
- 샘플링된 신호의 스펙트럼에서 고주파 성분이 마치 저주파 성분처럼 보이는 현상
- 원인: 샘플링을 충분히 하지 못했기 때문 (\(f_s < 2W\)) → 복제본들이 서로 겹쳐서 더해짐 (5절 그림의 세 번째 줄)
- 겹친 부분은 원본과 복제본이 더해져 버려서 어느 것이 원래 성분이었는지 구분할 수 없음. 어떤 필터로도 되돌릴 수 없는 정보 손실
필기: 신호가 빨리 변하는데 샘플 간격이 넓으면, 샘플 점들만 이었을 때 느리게 변하는 다른 신호처럼 보임. “이렇게 해서 에일리어싱이 발생함”
실생활 예: 영상에서 빠르게 도는 바퀴가 거꾸로 돌거나 멈춘 것처럼 보이는 것(초당 프레임 수가 회전 속도보다 부족해서 생기는 시간 영역의 에일리어싱)
에일리어싱을 줄이는 방법
- 샘플링 전에 저역 통과 안티 에일리어싱 필터(Anti-Aliasing Filter)로 필수적이지 않은 고주파 성분을 줄임
- 필기: 고주파 정보는 어차피 잃지만, 걸러 내지 않으면 저주파 쪽으로 접혀 들어와 필요한 저주파 정보까지 망가뜨림. 일부를 미리 버려서 나머지를 지키는 것
- 필터링된 신호를 나이퀴스트 율보다 조금 더 높은 비율로 샘플링 (오버샘플링, 필기: 더 촘촘하게 샘플링)
- 복제본 사이에 빈 공간(보호 대역)이 생겨 안 겹침
- 그 결과 복원용 필터(합성 필터, reconstruction filter)를 쉽게 설계할 수 있음: 통과 대역 \(W\)와 저지 대역 \(f_s - W\) 사이의 틈에서 천천히 떨어지는(사다리꼴) 현실적인 필터를 써도 됨. \(f_s = 2W\)였다면 \(W\)에서 수직으로 떨어지는 이상적 필터가 필요하지만 그런 필터는 만들 수 없음
| 예시 | 신호 대역 | 샘플링 율 | 여유 |
|---|---|---|---|
| CD 오디오 | 가청 대역 약 20 kHz | 44.1 kHz | 2 × 20 = 40 kHz보다 약 10% 높게 잡아 필터 전이 대역 확보 |
| 전화 음성 | 약 3.4 kHz | 8 kHz | 2 × 3.4 = 6.8 kHz보다 높게 |
7. 시간제한 신호와 대역제한 신호
- 샘플링 이론은 대역제한 신호를 충분한 율(\(f_s \ge 2W\))로 샘플링하면 정확히 복원된다고 말함
- 하지만 동시에 모든 시간(\(-\infty\) ~ \(\infty\))에 걸쳐 샘플링해야 한다고 말함. 유한한 시간 동안만 0이 아닌 시간제한(timelimited) 신호에도 이 요구는 그대로임
시간제한 신호는 대역제한일 수 없다
\(t_1\) ~ \(t_2\)에서만 0이 아닌 신호 \(x(t)\)는 그 구간의 사각 창을 곱해도 그대로임 (필기: \(\Delta t = t_2 - t_1\), \(t_0 = \frac{t_1 + t_2}{2}\))
\[x(t) = x(t)\,\mathrm{rect}\!\left(\frac{t - t_0}{\Delta t}\right)\]양변을 푸리에 변환하면 (곱 → 컨볼루션)
\[X(f) = X(f) * \Delta t\,\mathrm{sinc}(\Delta t f)\, e^{-j2\pi ft_0}\]- \(\mathrm{sinc}(\Delta t f)\)는 주파수 축으로 끝없이 이어짐
- 무엇이든 이 sinc와 컨볼루션한 결과는 역시 주파수 축으로 끝없이 이어짐 → \(X(f)\)는 대역제한일 수 없음
필기: 시간이 유한하면 주파수는 무한히 퍼진다 (반대로 대역제한이면 시간적으로 무한히 이어짐). 현실의 신호는 모두 유한한 시간 동안만 존재하므로 엄밀하게 대역제한인 신호는 없음 → 에일리어싱을 완전히 없앨 수는 없고, 안티 에일리어싱 필터로 “충분히 작게” 만드는 것이 목표
8. 보간 (Interpolation)
이상적인 보간 = 이상적인 저역 통과 필터
원래 신호는 (이론적으로) 원본 스펙트럼은 통과시키고 복제본(alias)은 막는 LPF로 되살릴 수 있음
\[X(f) = \underbrace{T_s\,\mathrm{rect}\!\left(\frac{f}{2f_c}\right)}_{\text{ideal LPF}} \times \underbrace{X_\delta(f)}_{\text{sampled}}, \qquad X_\delta(f) = f_sX(f) * \delta_{f_s}(f)\]- \(f_c\)는 차단 주파수(cutoff), 통과 대역의 폭은 \(2f_c\)
- 높이 \(T_s\)는 샘플링 때 생긴 \(f_s\)배를 되돌리기 위한 것
- 조건: \(W \le f_c \le f_s - W\) (원본은 통과, 첫 복제본은 차단)
역변환하면 (곱 → 컨볼루션, \(T_sf_s = 1\))
\[x(t) = 2\frac{f_c}{f_s}\,\mathrm{sinc}(2f_ct) * \sum_n x(nT_s)\delta(t - nT_s) = 2\frac{f_c}{f_s}\sum_{n = -\infty}^{\infty} x(nT_s)\,\mathrm{sinc}(2f_c(t - nT_s))\]\(f_c = \frac{f_s}{2}\)로 두면 5절과 같은 식
\[x(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} x(nT_s)\,\mathrm{sinc}\!\left(\frac{t - nT_s}{T_s}\right)\]실제 보간 (Practical Interpolation)
sinc 보간은 이론적으로 완벽하지만 실제로는 불가능
- sinc는 양쪽으로 무한히 이어지므로 모든 시간의 샘플이 필요하고
- \(t < 0\)에서도 0이 아니므로 미래 샘플이 필요한 비인과 시스템
그래서 현실에서는 타협한 보간을 씀
영차 홀드 (ZOH, Zero-Order Hold): DAC가 하는 일. 가장 간단하게 구현할 수 있는 보간
\[h(t) = \begin{cases} 1, & 0 < t < T_s \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} = \mathrm{rect}\!\left(\frac{t - T_s/2}{T_s}\right)\]- 폭이 샘플 간격 \(T_s\)인 사각 펄스. 중심이 \(\frac{T_s}{2}\)에 있음
- 필기: \(x_\delta(t) \to h(t) \to y(t)\), 즉 \(y(t) = x_\delta(t) * h(t)\). 임펄스 하나하나가 폭 \(T_s\)짜리 사각 펄스로 바뀌어 다음 샘플까지 값을 유지하는 계단이 됨
- 주파수로 보면 \(H(f) = T_s\,\mathrm{sinc}(fT_s)e^{-j\pi fT_s}\): 이상적 LPF처럼 평평하지 않고 sinc 모양이라 복제본을 완전히 막지 못함 → 실제 DAC 뒤에는 계단을 매끄럽게 하는 평활 필터를 하나 더 둠
일차 홀드 (FOH, First-Order Hold): 샘플 사이를 직선으로 잇는 방법
- 자연스럽지만 실시간으로는 불가능: 지금 구간의 직선을 그리려면 다음 샘플 값을 미리 알아야 함 → 비인과
- 복원을 한 샘플 시간(\(T_s\))만큼 늦추면 인과 시스템으로 만들 수 있음
- 필기: 인과(causal)로 구현하면 지연(delay)이 발생함
ZOH, 비인과 FOH, 인과 FOH (인과 FOH는 원 신호보다 한 샘플 늦음)
| 방법 | 모양 | 인과 | 정확도 | 비고 |
|---|---|---|---|---|
| sinc (이상적 LPF) | 매끄러움 | X | 완벽 (대역제한 + 무한 샘플이면) | 이론용 |
| ZOH | 계단 | O | 낮음 | DAC의 모델 |
| FOH (비인과) | 꺾은선 | X | 중간 | 다음 샘플이 필요 |
| FOH (인과) | 꺾은선, \(T_s\) 지연 | O | 중간 | 지연을 허용하면 실시간 가능 |
9. 대역통과 신호의 샘플링
신호가 \(f_L\) ~ \(f_H\)에만 있는 대역통과 신호라면, 최고 주파수의 2배보다 낮은 율로 샘플링해도 복원할 수 있음
예: 15 ~ 20 kHz에만 성분이 있는 신호 (\(f_L = 15\), \(f_H = 20\), 대역폭 \(B = 5\) kHz)
- 저역 신호로 보면 최고 주파수가 20 kHz라 \(f_s \ge 40\) kHz가 필요해 보임
- 하지만 0 ~ 15 kHz는 비어 있음. 복제본이 이 빈 공간에 들어가기만 하면 원본 대역(15 ~ 20 kHz)은 깨끗하게 남음
15 ~ 20 kHz 대역통과 신호를 20 kHz, 10 kHz로 샘플링했을 때의 스펙트럼
| \(f_s\) | 결과 |
|---|---|
| 20 kHz | 복제본이 원본 사이 빈 공간에 들어감 → 대역통과 필터로 원본 복원 가능 (최고 주파수의 2배보다 낮은데도) |
| 10 kHz | 필기: 율을 다시 1/2로 줄였는데도 복제본이 원본과 딱 맞닿기만 하고 겹치지 않음 → 이상적인 대역통과 필터로 간신히(barely) 복원 가능 (최고 주파수의 절반인데도) |
일반 조건
양의 원본 대역 \([f_L, f_H]\)와 음의 원본 \([-f_H, -f_L]\)을 \(k\)번째, \(k - 1\)번째로 옮긴 복제본 사이에 원본이 끼어 들어가야 함
- 아래쪽 이웃이 넘지 않을 조건: \((k - 1)f_s - f_L \le f_L \;\Rightarrow\; (k - 1)f_s \le 2f_L\)
- 위쪽 이웃이 넘지 않을 조건: \(kf_s - f_H \ge f_H \;\Rightarrow\; kf_s \ge 2f_H\)
합치면 가능한 범위
\[\frac{2f_H}{k} \le f_s \le \frac{2f_L}{k - 1}, \qquad k = 1, 2, \dots, \left\lfloor \frac{f_H}{B} \right\rfloor\]가장 큰 \(k\)를 쓰면 최소 샘플링 율
\[f_{s,\min} = \frac{2f_H}{\lfloor f_H/B \rfloor}\](\(\lfloor \cdot \rfloor\)은 그 수를 넘지 않는 가장 큰 정수, \(B = f_H - f_L\))
1
2
3
4
5
6
7
8
9
import math
fL, fH = 15, 20 # kHz
B = fH - fL
for k in range(1, math.floor(fH / B) + 1):
lo = 2 * fH / k
hi = 2 * fL / (k - 1) if k > 1 else float("inf")
print(f"k={k}: {lo:.2f} <= fs <= {hi:.2f} kHz")
print("fs,min =", 2 * fH / math.floor(fH / B), "kHz")
1
2
3
4
5
k=1: 40.00 <= fs <= inf kHz
k=2: 20.00 <= fs <= 30.00 kHz
k=3: 13.33 <= fs <= 15.00 kHz
k=4: 10.00 <= fs <= 10.00 kHz
fs,min = 10.0 kHz
- \(k = 1\)은 평범한 저역 샘플링(\(f_s \ge 2f_H\))
- 20 kHz는 \(k = 2\) 범위의 끝, 10 kHz는 \(k = 4\)에서 범위가 한 점뿐이라 “간신히” 복원되는 것과 일치
- 허용 범위가 띄엄띄엄 있다는 점에 주의: 예를 들어 16 ~ 19 kHz나 11 ~ 13 kHz는 어느 범위에도 속하지 않아 에일리어싱이 생김. 율을 높인다고 무조건 좋아지는 게 아님
하한 \(f_{s,\min}\)은 대역폭으로 정해짐: 신호가 아무리 높은 주파수에 있어도 대역폭 \(B\)만 작으면 약 \(2B\) 근처로 샘플링할 수 있음. 무선 수신기에서 반송파 대역 신호를 직접 샘플링하는 언더샘플링의 원리
10. 정현파의 샘플링
나이퀴스트 율로 샘플링하면 생기는 문제
필기 (중요 표시): “나이퀴스트 율로 샘플링하면 복원 가능하다”는 틀림. sin은 불가능.
이산 시간 표현 \(x[n] = x(nT_s)\), 정규화 주파수 \(F = \frac{f}{f_s}\) (필기는 \(F_s = 1\)로 놓고 계산)
| 신호 | \(F\) | 나이퀴스트 율 \(2F\) | 샘플링 율 | 결과 |
|---|---|---|---|---|
| \(\cos(2\pi\cdot\frac{1}{4}n)\) | 1/4 | 1/2 | 1 (나이퀴스트의 2배) | 샘플이 신호를 유일하게 결정 |
| \(\cos(2\pi\cdot\frac{1}{2}n)\) | 1/2 | 1 | 1 (정확히 나이퀴스트) | 샘플이 신호를 유일하게 결정하지 못함 |
| \(\sin(2\pi\cdot\frac{1}{2}n)\) | 1/2 | 1 | 1 (정확히 나이퀴스트) | 샘플이 모두 0 |
이유: \(F = \frac{1}{2}\)이면 \(2\pi\cdot\frac{1}{2}n = \pi n\)
- \(\cos(\pi n) = (-1)^n\): \(+1, -1, +1, \dots\)로 살아남음
- \(\sin(\pi n) = 0\): 정수 \(n\)마다 정확히 영점이라 전부 사라짐
그래서 같은 주파수의 다른 정현파 \(A\cos(\pi n) + B\sin(\pi n)\)은 \(B\)가 얼마든 샘플이 \(A(-1)^n\)으로 같음 → 샘플로는 \(B\)(즉 위상)를 알 수 없음. 같은 이유로 어떤 신호에든 나이퀴스트 주파수(\(f_s/2\))의 사인파를 더해도 샘플은 변하지 않음
필기: \(F_s\)와 나이퀴스트가 같은 값으로 샘플링하면 sin은 0으로 전부 사라지고 cos은 살아남음. 그래서 샘플링 이론의 조건은 엄밀히 \(f_s > 2W\) (또는 정확히 \(W\)에 성분이 없을 것)
서로 다른 정현파가 같은 샘플을 줄 수 있다
\[x_1(t) = A\cos(2\pi f_0t + \theta), \qquad x_2(t) = A\cos(2\pi(f_0 + kf_s)t + \theta)\]율 \(f_s\)로 샘플링하면 모든 정수 \(k\)에 대해 샘플이 같음
\[x_2(nT_s) = A\cos\!\left(2\pi f_0nT_s + 2\pi kf_s nT_s + \theta\right) = A\cos(2\pi f_0nT_s + \theta + 2\pi kn) = x_1(nT_s)\](\(f_sT_s = 1\)이라 추가된 위상 \(2\pi kn\)은 \(2\pi\)의 정수배)
- 주파수가 \(f_s\)만큼 차이 나는 정현파들은 샘플만으로는 구분 불가 → 4절에서 스펙트럼이 \(f_s\)마다 복제되는 것과 같은 이야기
- \(\cos\)은 짝함수라 \(-f_0 + kf_s\)도 같은 샘플 → \(\frac{f_s}{2}\)를 넘는 주파수 \(f\)는 \(\lvert f - kf_s \rvert\) 중 0 ~ \(\frac{f_s}{2}\) 범위의 값으로 접혀서(folding) 보임. 이것이 에일리어싱의 정체
왼쪽: 나이퀴스트 율에서 sin 샘플이 모두 0. 가운데: 0.15와 1.15의 샘플이 같음. 오른쪽: 0.85가 0.15로 접혀 보임
1
2
3
4
5
6
7
import numpy as np
n = np.arange(10); fs = 1.0; f0 = 0.15
d = np.max(np.abs(np.cos(2*np.pi*f0*n) - np.cos(2*np.pi*(f0 + fs)*n)))
print(f"cos(f0) vs cos(f0 + fs) 샘플 최대 차: {d:.1e}")
print(f"sin(pi n)의 최대 크기: {np.max(np.abs(np.sin(np.pi * n))):.1e}")
print(f"0.85 Hz는 {abs(0.85 - round(0.85 / fs) * fs):.2f} Hz로 보임")
1
2
3
cos(f0) vs cos(f0 + fs) 샘플 최대 차: 8.6e-15
sin(pi n)의 최대 크기: 1.1e-15
0.85 Hz는 0.15 Hz로 보임
(1e-15 수준은 부동소수점 반올림 오차로 사실상 0)
11. 대역제한 주기 신호
- 신호가 대역제한이면 샘플링 이론대로 제대로 샘플링할 수 있음
- 신호가 주기적이기도 하면 푸리에 변환은 임펄스로만 이루어짐 (기본 주파수의 정수배에만 성분)
- 대역제한이므로 0이 아닌 임펄스는 유한 개 → 신호를 유한한 숫자 집합(임펄스의 세기)으로 정확히 표현할 수 있음
- 나이퀴스트 율보다 높고, 기본 주파수의 정수배인 율로 정확히 한 주기 동안 샘플링하면 그 샘플 \(N_0\)개로 신호를 완전히 기술할 수 있음
- 계속 샘플링해도 같은 샘플이 매 주기 반복될 뿐 (필기: \(N_0\)개의 샘플이 복제되어 나타남)
- 결론: 신호를 완전히 기술하는 데 필요한 숫자의 개수가 시간 영역과 주파수 영역 모두에서 유한
| 영역 | 표현 | 필기 |
|---|---|---|
| \(x(t)\) | 연속 시간 주기 신호 (주기 \(T_0\)) | |
| \(x[n]\) | 한 주기에 \(N_0\)개의 샘플 | 이산 시간 영역(Discrete Time domain) |
| \(x_\delta(t) = x(t)\cdot\delta_{T_s}(t)\) | 같은 샘플을 연속 시간의 임펄스로 | 연속 시간 영역(Continuous Time domain) |
| CTFT \(X(f)\) | 유한 개의 임펄스 | |
| DTFT \(X(F)\), CTFT \(X_\delta(f)\) | 위의 임펄스 묶음이 \(F = 1, 2, \dots\) / \(f_s, 2f_s, \dots\)마다 반복 | 4절의 주기적 복제 |
컴퓨터가 신호를 다룰 수 있는 이유: 유한 개의 숫자만 저장할 수 있는데, 대역제한 주기 신호는 한 주기의 샘플 \(N_0\)개(시간)와 스펙트럼 계수 \(N_0\)개(주파수)로 완전히 표현됨. 이것이 DFT(FFT)가 다루는 대상
12. 펄스 변조: PAM, PDM, PPM
샘플을 실제로 전송하려면 폭이 0인 임펄스 대신 폭이 있는 펄스에 실어 보내야 함. 샘플 값을 펄스의 어떤 성질에 싣느냐에 따라 세 가지
같은 메시지를 PAM, PDM, PPM으로 표현
| 방식 | 샘플 값을 싣는 곳 | 일정한 것 | 특징 |
|---|---|---|---|
| PAM (Pulse-Amplitude) | 펄스의 높이(진폭) | 폭, 위치 | 가장 단순, 잡음이 진폭에 바로 더해짐 |
| PDM / PWM (Pulse-Duration / Width) | 펄스의 폭 | 높이 (필기: 높이는 1로 일정) | 넓은 펄스에 과다한 전력이 필요 |
| PPM (Pulse-Position) | 펄스의 위치 | 높이, 폭 (필기: 간격은 일정하지 않음) | 폭이 좁고 일정해 전력 효율이 좋음 |
PAM (Pulse-Amplitude Modulation)
- 연속 메시지를 규칙적인 간격의 펄스 진폭으로 표현. 펄스 모양은 보통 사각형
- 과정
- \(T_s\)마다 메시지 \(m(t)\)를 순시 샘플링 (\(f_s = \frac{1}{T_s}\))
- 각 샘플을 일정한 폭 \(T\) 동안 유지 (flat-top sampling)
- 필기: 메시지에 펄스 열을 곱하는 것처럼 보이지만, 펄스 윗면이 평평하게 샘플 값으로 고정된다는 점에서 단순 곱(자연 샘플링)과 다름
- \(T_s\): 샘플링 주기, \(m(nT_s)\): \(t = nT_s\)에서의 샘플 값
- \(h(t)\): 단위 진폭과 폭 \(T\)를 갖는 표준 사각 펄스
PAM = 순시 샘플링 신호와 사각 펄스의 컨볼루션
\[m_\delta(t) = \sum_n m(nT_s)\,\delta(t - nT_s), \qquad s(t) = m_\delta(t) * h(t)\]확인: 컨볼루션을 풀면
\[m_\delta(t) * h(t) = \int m_\delta(\tau)h(t - \tau)\,d\tau = \sum_n m(nT_s)\int \delta(\tau - nT_s)h(t - \tau)\,d\tau = \sum_n m(nT_s)\,h(t - nT_s)\](임펄스의 체 거르기 성질로 \(\tau = nT_s\)만 남음) → 위의 \(s(t)\)와 같음. 8절의 ZOH와 같은 구조이고, \(T = T_s\)이면 ZOH 그 자체
주파수 영역: 시간 영역의 컨볼루션 → 주파수 영역의 곱
\[S(f) = M_\delta(f)H(f) = f_s\sum_{k = -\infty}^{\infty} M(f - kf_s)\,H(f), \qquad H(f) = T\,\mathrm{sinc}(fT)\,e^{-j\pi fT}\]
Flat-top PAM의 스펙트럼: 복제본 위에 sinc 모양의 H(f)가 곱해짐
- 순시 샘플링의 복제본(회색)에 \(\lvert H(f) \rvert\)(주황)이 곱해져 복제본마다 높이가 깎이고, 원본 대역 안에서도 높은 주파수 쪽이 조금 줄어듦 (파란색, 필기 그림의 모양)
- 이것을 개구 효과(aperture effect)라고 함. 펄스 폭 \(T\)가 넓을수록 sinc가 좁아져 왜곡이 커짐
- 대역 끝 \(f = \frac{f_s}{2}\)에서의 감쇠: \(T/T_s = 0.1\)이면 0.04 dB로 무시할 만하지만, \(T = T_s\)(ZOH)이면 약 3.9 dB
- 해결: 펄스 폭을 \(T_s\)보다 충분히 좁게 하거나, 수신 쪽에서 \(\frac{1}{H(f)}\) 모양의 등화기(equalizer)로 보정
PDM과 PPM
- PDM (펄스 폭 변조): 샘플을 펄스 폭으로 표현. 높이가 1로 일정해서 폭이 넓은 펄스가 많으면 전송에 과다한 전력이 필요한 단점
- PPM (펄스 위치 변조): 샘플을 펄스 위치로 표현. PDM에서 정보는 사실 펄스의 뒤쪽 끝(edge)의 위치에만 있으므로, 그 위치만 좁은 펄스로 표시하면 같은 정보를 훨씬 적은 전력으로 보낼 수 있음
PPM 신호의 생성
\[s(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} g\!\left(t - nT_s - k_p\,m(nT_s)\right)\]- \(g(t)\): 표준 펄스, \(k_p\): 펄스 위치 변조기의 감도 계수
- \(n\)번째 펄스가 원래 자리 \(nT_s\)에서 샘플 값에 비례하는 만큼(\(k_pm(nT_s)\)) 밀려남
flowchart LR
M["메시지 m(t)"] --> SH["샘플과 유지 회로<br/>u(t): 계단"]
P["펄스파 발생기"] --> SH
P --> SAW["톱니파 발생기"]
SH --> ADD["가산기<br/>v(t) = u(t) + 톱니파"]
SAW --> ADD
ADD --> TH["임계 검출기<br/>i(t)"]
TH --> PS["펄스 성형 필터"]
PS --> S["PPM 신호 s(t)"]
- 샘플과 유지 회로가 \(m(t)\)를 계단 신호 \(u(t)\)로 만듦
- 톱니파를 더해 \(v(t)\)를 만들면 각 톱니의 기울어진 부분이 \(u(t)\)만큼 위아래로 이동
- 임계 검출기가 \(v(t)\)가 기준값을 가로지르는 순간에 펄스 \(i(t)\)를 냄 (필기: 교차)
- 상향 교차: 톱니파가 기준값을 넘어서는 순간 펄스 발생
- 하향 교차: 톱니파가 기준값보다 작아지는 순간 펄스 발생 (강의 그림의 예시)
- \(u(t)\)가 클수록 톱니가 위로 올라가 교차 시점이 달라짐 → 샘플 값이 펄스의 시간 위치로 바뀜
- 펄스 성형 필터로 모양을 다듬어 전송
13. 디지털 펄스 변조의 장점
| 장점 | 내용 |
|---|---|
| 수행성 | 채널 잡음과 신호 왜곡의 영향을 재생 리피터로 제거 가능 (중간에서 비트를 다시 판정해 깨끗하게 재생) |
| 강인성 | 채널 잡음과 신호 왜곡에 강함 |
| 신뢰성 | 에러 제어 코딩으로 신뢰성 향상 |
| 보안성 | 강력한 암호화 알고리즘 사용 가능 |
| 효율성 | 대역폭과 SNR이 trade-off 관계: 대역폭을 더 쓰는 대신 필요한 SNR을 낮출 수 있어 아날로그보다 효율적 |
| 시스템 통합 | 컴퓨터 데이터와 디지털화된 아날로그 신호를 하나로 통합 |
강의 자료에서 정정한 부분 정리
| 위치 | 강의 자료 | 정정 | 이유 |
|---|---|---|---|
| 강의 자료 13쪽 | \(f_sG(f) + \sum_{m \ne 0} G(f - mf_s)\) | \(f_sG(f) + f_s\sum_{m \ne 0} G(f - mf_s)\) | 앞의 \(f_s\)가 모든 항에 곱해져야 함 |
| 강의 자료 13쪽 | “2번째 항이 0에 가까워짐” | \(-W < f < W\)에서 정확히 0 | \(f_s \ge 2W\)면 복제본이 그 구간과 겹치지 않음 |
| 강의 자료 16쪽 | \(\sum g(\frac{n}{2W})\mathrm{sinc}(2Wt - n)\,df\) | \(df\) 삭제 | 적분이 이미 끝나 \(\mathrm{sinc}\)가 됨 |
| 강의 자료 31쪽 | “greatest integer less than” | 넘지 않는 가장 큰 정수 (floor) | \(f_H/B\)가 정수일 때 그 값을 그대로 써야 함 (15 ~ 20 kHz 예에서 4) |
| 강의 자료 31쪽 | 부등식 \(<\), \(>\) | 경계 포함 \(\le\), \(\ge\) | 30쪽처럼 복제본이 딱 맞닿는 경우(10 kHz)도 “간신히” 복원 가능으로 다룸 |
| 강의 자료 31쪽 | “at at” | “at” | 오타 |
| 강의 자료 41쪽 | \(f_s\sum_{n = -\infty}^{\infty} M(f - kf_s)H(f)\) | 합의 인덱스를 \(k\)로 | 합 안에서 쓰는 변수는 \(k\) |
최종 핵심 정리
- 아날로그 → 디지털은 샘플링(시간 이산화) → 양자화(값 이산화) → 부호화. \(b\)비트면 \(2^b\)개 레벨, 비트 하나당 SQNR 약 6 dB 향상
- 순시 샘플링은 신호에 임펄스 열을 곱한 것: \(g_\delta(t) = \sum g(nT_s)\delta(t - nT_s)\), \(f_s = 1/T_s\)
- 시간 영역 샘플링 ⟺ 주파수 영역 복제: \(G_\delta(f) = f_s\sum_m G(f - mf_s)\). 원본 스펙트럼이 \(f_s\)마다 복사됨
- 대역폭 \(W\)인 신호는 복제본이 겹치지 않는 \(f_s \ge 2W\)(나이퀴스트 율)로 샘플링하면 LPF로 완벽 복원: \(g(t) = \sum g(\frac{n}{2W})\mathrm{sinc}(2Wt - n)\)
- \(f_s < 2W\)면 복제본이 겹쳐 에일리어싱: 고주파가 저주파로 접혀 보이며 되돌릴 수 없음 → 샘플링 전 안티 에일리어싱 필터 + 나이퀴스트보다 조금 높은 율
- 시간제한 신호는 대역제한일 수 없어 에일리어싱을 완전히 없앨 수는 없음
- sinc 보간은 무한한 샘플과 미래 샘플이 필요해 불가능 → 실제로는 ZOH(DAC, 계단), FOH(직선, 인과로 만들면 \(T_s\) 지연)
- 대역통과 신호는 \(\frac{2f_H}{k} \le f_s \le \frac{2f_L}{k - 1}\) 범위에서 최고 주파수의 2배보다 낮게 샘플링 가능, 최소 \(\frac{2f_H}{\lfloor f_H/B \rfloor}\)
- 정현파를 정확히 나이퀴스트 율로 샘플링하면 sin 성분은 모두 0으로 사라짐 → 엄밀한 조건은 \(f_s > 2W\). \(f_0\)와 \(f_0 + kf_s\)는 같은 샘플을 줌
- 펄스 변조: PAM(높이), PDM(폭, 전력 많이 듦), PPM(위치). Flat-top PAM은 \(S(f) = M_\delta(f)H(f)\)로 sinc 모양의 개구 효과가 생김
End.