06. Communication Theory_Hilbert Transform
06. Communication Theory_Hilbert Transform
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학습 목표
- 힐베르트 변환의 정의(주파수 영역, 시간 영역) 이해
- 변환쌍 \(\frac{1}{\pi t} \rightleftharpoons -j\,\mathrm{sgn}(f)\) 유도
- 힐베르트 변환으로 한쪽 측파대만 남기는 방법 이해
- 해석 신호(pre-envelope) \(m(t) + j\hat{m}(t)\)와 SSB 신호의 관계 이해
- 힐베르트 변환의 주요 성질 이해와 수치 확인
힐베르트 변환 (Hilbert Transform)
정의
- 스펙트럼의 크기(magnitude)는 바꾸지 않고, 위상만 \(\mp 90°\) 이동시키는 변환
- 양의 주파수: \(-90°\)
- 음의 주파수: \(+90°\)
- 이 동작을 하는 시스템(힐베르트 변환기)의 전달함수
- 메시지 \(m(t)\)의 힐베르트 변환을 \(\hat{m}(t)\)로 쓰면
- 시간 영역에서는 임펄스 응답 \(h(t) = \frac{1}{\pi t}\)와의 컨볼루션
- \(H(f)\)는 크기가 모든 주파수에서 1이고 위상만 바뀌므로 올패스(all-pass) 필터
- \(h(t) = \frac{1}{\pi t}\)는 \(t < 0\)에서도 0이 아니므로 비인과이고, \(\int \lvert h \rvert\, dt = \infty\)라 3장 기준으로는 BIBO 안정도 아님 → 실제로는 신호 대역 안에서만 근사해서 구현 (4장의 “광대역 위상 천이기”)
변환쌍 \(\frac{1}{\pi t} \rightleftharpoons -j\,\mathrm{sgn}(f)\) 유도
강의 자료의 상자에 있는 변환쌍은 2장의 부호 함수 변환과 쌍대성으로 얻을 수 있음
- 부호 함수의 변환 (2장): \(\mathrm{sgn}(t) \rightleftharpoons \frac{1}{j\pi f}\)
- 쌍대성 \(G(t) \rightleftharpoons g(-f)\)를 적용: \(\frac{1}{j\pi t} \rightleftharpoons \mathrm{sgn}(-f) = -\mathrm{sgn}(f)\)
- 양변에 \(j\)를 곱하면
- 두 번째 식이 강의 자료 상자에 있는 \(\frac{j}{\pi t} \rightleftharpoons \mathrm{sgn}(f)\)
대표적인 힐베르트 변환쌍
| \(m(t)\) | \(\hat{m}(t)\) | 이유 |
|---|---|---|
| \(\cos(2\pi f_c t)\) | \(\sin(2\pi f_c t)\) | \(+f_c\) 성분 \(\times(-j)\), \(-f_c\) 성분 \(\times(+j)\) |
| \(\sin(2\pi f_c t)\) | \(-\cos(2\pi f_c t)\) | 같은 방법 |
| \(\mathrm{rect}(t/T)\) | \(\frac{1}{\pi}\ln\left\lvert\frac{t + T/2}{t - T/2}\right\rvert\) | \(\frac{1}{\pi t}\)와 직접 컨볼루션 |
| \(\delta(t)\) | \(\frac{1}{\pi t}\) | 임펄스 응답의 정의 |
\(\cos\)의 경우를 풀어 쓰면
\[\cos(2\pi f_c t) \rightleftharpoons \frac{1}{2}[\delta(f - f_c) + \delta(f + f_c)] \quad\xrightarrow{\times(-j\,\mathrm{sgn}f)}\quad \frac{1}{2}[-j\,\delta(f - f_c) + j\,\delta(f + f_c)] = \frac{1}{2j}[\delta(f - f_c) - \delta(f + f_c)] \rightleftharpoons \sin(2\pi f_c t)\]→ 모든 \(\cos\) 성분을 \(\sin\)으로 바꾸므로 4장 SSB에서 쓴 “광대역 \(-90°\) 위상 천이기“가 바로 힐베르트 변환기
- 사각 펄스처럼 불연속이 있는 신호는 힐베르트 변환이 불연속점에서 로그로 발산
- 우함수인 사각 펄스가 기함수 모양으로 바뀜 (\(-j\,\mathrm{sgn}(f)\)가 기함수이기 때문)
한쪽 측파대만 남기기
실수 신호의 스펙트럼
- 메시지 \(m(t)\)가 실수이면 2장의 켤레 대칭에 의해 \(M(-f) = M^*(f)\)
- 즉 음의 주파수 쪽 스펙트럼은 양의 주파수 쪽에서 완전히 결정 → 정보가 중복됨
- 그래서 한쪽 측파대만 보내도 메시지를 복원할 수 있음 (SSB의 원리)
하측파대만 남기기 (강의 자료 예)
\(M(f)\)의 음의 주파수 부분(하측파대)만 남긴 스펙트럼을 \(Z(f)\)라 하면
\[Z(f) = \frac{1}{2}M(f)\big[1 - \mathrm{sgn}(f)\big] = \begin{cases} M(f), & f < 0 \\ 0, & f > 0 \end{cases}\]역변환하면 (\(\mathrm{sgn}(f)M(f) \rightleftharpoons m(t) * \frac{j}{\pi t}\))
\[z(t) = \frac{1}{2}m(t) - \frac{1}{2}m(t) * \frac{j}{\pi t} = \frac{1}{2}m(t) - \frac{j}{2}\hat{m}(t)\]상측파대만 남기기: 해석 신호 (Pre-envelope)
같은 방법으로 양의 주파수 부분만 남기고 2배 하면 해석 신호(analytic signal, pre-envelope)
\[m_+(t) = m(t) + j\hat{m}(t) \quad\rightleftharpoons\quad M_+(f) = M(f) + j\big(-j\,\mathrm{sgn}(f)\big)M(f) = M(f)\big[1 + \mathrm{sgn}(f)\big] = \begin{cases} 2M(f), & f > 0 \\ M(0), & f = 0 \\ 0, & f < 0 \end{cases}\]
| 신호 | 스펙트럼 | 남는 부분 |
|---|---|---|
| \(m(t)\) | \(M(f)\) | 전체 (\(-W \sim W\)) |
| \(m(t) + j\hat{m}(t)\) | \(M(f)[1 + \mathrm{sgn}(f)]\) | 양의 주파수만 (2배) |
| \(m(t) - j\hat{m}(t)\) | \(M(f)[1 - \mathrm{sgn}(f)]\) | 음의 주파수만 (2배) |
- \(\hat{m}(t)\)에 \(j\)를 곱해서 더하면 음의 주파수가 상쇄되고, 빼면 양의 주파수가 상쇄됨
- 해석 신호는 복소 신호이지만, 실수부 \(\mathrm{Re}\{m_+(t)\} = m(t)\)로 원래 신호를 그대로 담고 있음
힐베르트 변환과 SSB
해석 신호로 SSB 만들기
해석 신호를 \(e^{j2\pi f_c t}\)와 곱해서 \(f_c\)로 옮긴 뒤 실수부를 취하면 SSB
\[\begin{aligned} s_{\mathrm{USSB}}(t) &= \frac{A_c}{2}\mathrm{Re}\left\{\big[m(t) + j\hat{m}(t)\big]e^{j2\pi f_c t}\right\} = \frac{A_c}{2}m(t)\cos(2\pi f_c t) - \frac{A_c}{2}\hat{m}(t)\sin(2\pi f_c t) \\ s_{\mathrm{LSSB}}(t) &= \frac{A_c}{2}\mathrm{Re}\left\{\big[m(t) - j\hat{m}(t)\big]e^{j2\pi f_c t}\right\} = \frac{A_c}{2}m(t)\cos(2\pi f_c t) + \frac{A_c}{2}\hat{m}(t)\sin(2\pi f_c t) \end{aligned}\]- 전개: \(\mathrm{Re}\{(m + j\hat{m})(\cos\theta + j\sin\theta)\} = m\cos\theta - \hat{m}\sin\theta\) (\(\theta = 2\pi f_c t\))
- 상측 SSB: 양의 주파수만 있는 \(m + j\hat{m}\)을 \(+f_c\)로 옮김 → \(f_c\) 위쪽에만 스펙트럼 (실수부를 취하면 \(-f_c\) 쪽에는 켤레 대칭 복사본)
- 하측 SSB: 음의 주파수만 있는 \(m - j\hat{m}\)을 \(+f_c\)로 옮김 → \(f_c\) 아래쪽에만 스펙트럼
- 4장에서 정현파 합으로 유도한 SSB 식과 정확히 같은 결과를 훨씬 간단하게 얻음
4장 내용과의 연결
| 4장 개념 | 힐베르트 변환으로 본 의미 |
|---|---|
| SSB의 \(\hat{m}(t)\sin(2\pi f_c t)\) 항 | 반대쪽 측파대를 지우는 직교 성분 |
| 위상 변별법의 광대역 위상 천이기 | 힐베르트 변환기 \(H(f) = -j\,\mathrm{sgn}(f)\) |
| SSB의 \(s_I = \frac{1}{2}m\), \(s_Q = \pm\frac{1}{2}\hat{m}\) | 복소 포락선 \(\frac{1}{2}(m \pm j\hat{m})\) = 해석 신호 |
힐베르트 변환의 성질 (보충)
강의 자료에는 없지만 SSB와 다음 장들을 이해하는 데 자주 쓰이는 성질
| 성질 | 수식 | 이유 |
|---|---|---|
| 1. 같은 진폭 스펙트럼, 같은 에너지 | \(\lvert\hat{M}(f)\rvert = \lvert M(f)\rvert\), \(\int\hat{m}^2 dt = \int m^2 dt\) | \(\lvert -j\,\mathrm{sgn}(f) \rvert = 1\), 레일리 에너지 정리 |
| 2. 두 번 적용하면 부호 반전 | \(\mathcal{H}\{\hat{m}(t)\} = -m(t)\) | \((-j\,\mathrm{sgn}f)^2 = -1\) (\(f \neq 0\)) |
| 3. 원래 신호와 직교 | \(\int_{-\infty}^{\infty} m(t)\hat{m}(t)\, dt = 0\) | 아래 유도 |
| 4. 실수 신호의 변환은 실수 | \(m(t)\) 실수 → \(\hat{m}(t)\) 실수 | \(-j\,\mathrm{sgn}(f)\)가 켤레 대칭을 유지 |
성질 3 유도 (일반화된 레일리 정리 \(\int x(t)y^*(t)\, dt = \int X(f)Y^*(f)\, df\), \(\hat{m}\)은 실수)
\[\int_{-\infty}^{\infty} m(t)\hat{m}(t)\, dt = \int_{-\infty}^{\infty} M(f)\big[-j\,\mathrm{sgn}(f)M(f)\big]^* df = \int_{-\infty}^{\infty} j\,\mathrm{sgn}(f)\lvert M(f)\rvert^2 df = 0\]- \(\lvert M(f) \rvert^2\)은 우함수, \(\mathrm{sgn}(f)\)는 기함수 → 피적분 함수가 기함수라 적분이 0
주의: 성질 2는 직류 성분이 없을 때 성립 (\(\mathrm{sgn}(0) = 0\)이라 상수의 힐베르트 변환은 0)
scipy.signal.hilbert로 성질들을 확인하면 다음과 같음 (이 함수는 해석 신호 \(m + j\hat{m}\)을 돌려주므로 허수부가 \(\hat{m}\))
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import numpy as np
from scipy.signal import hilbert
fs = 1000
t = np.arange(0, 1, 1 / fs) # 1초, 주기 신호가 정확히 들어가도록
H = lambda x: np.imag(hilbert(x)) # 힐베르트 변환 m_hat(t)
c = np.cos(2 * np.pi * 5 * t)
s = np.sin(2 * np.pi * 5 * t)
print("H{cos} = sin :", np.allclose(H(c), s))
print("H{sin} = -cos :", np.allclose(H(s), -c))
m = np.cos(2 * np.pi * 3 * t) + 0.5 * np.sin(2 * np.pi * 7 * t) + 0.2 * np.cos(2 * np.pi * 11 * t)
m_hat = H(m)
print("H{H{m}} = -m :", np.allclose(H(m_hat), -m))
print(f"에너지 m: {np.sum(m**2) / fs:.4f}, m_hat: {np.sum(m_hat**2) / fs:.4f}")
print(f"내적 <m, m_hat> = {np.sum(m * m_hat) / fs:.2e}")
M = np.fft.fft(m)
Mp = np.fft.fft(m + 1j * m_hat) # 해석 신호(pre-envelope)의 스펙트럼
f = np.fft.fftfreq(len(t), 1 / fs)
print("해석 신호: 음의 주파수 성분 최대 크기", f"{np.max(np.abs(Mp[f < 0])):.2e}")
print("해석 신호: 양의 주파수는 2M(f) :", np.allclose(Mp[f > 0], 2 * M[f > 0]))
실행 결과
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H{cos} = sin : True
H{sin} = -cos : True
H{H{m}} = -m : True
에너지 m: 0.6450, m_hat: 0.6450
내적 <m, m_hat> = -3.55e-18
해석 신호: 음의 주파수 성분 최대 크기 6.60e-14
해석 신호: 양의 주파수는 2M(f) : True
- 에너지가 같고(성질 1), 두 번 적용하면 \(-m\)(성질 2), 내적이 사실상 0(성질 3)
- 해석 신호의 음의 주파수 성분은 반올림 오차 수준(\(10^{-14}\))으로 0이고, 양의 주파수는 정확히 \(2M(f)\)
강의 자료 확인 결과
- 4쪽 분량의 자료에서 수식(변환쌍, \(Z(f)\), \(z(t)\), \(s_{\mathrm{USSB}}\), \(s_{\mathrm{LSSB}}\))을 모두 다시 유도했고 틀린 곳은 없었음
- 표기만 참고: 강의 자료는 힐베르트 변환 연산자와 전달함수를 둘 다 \(H\)로 씀 → 이 글에서는 연산자를 \(\mathcal{H}\{\cdot\}\), 전달함수를 \(H(f)\)로 구분
최종 핵심 정리
- 힐베르트 변환은 크기는 그대로, 위상만 양의 주파수 \(-90°\), 음의 주파수 \(+90°\) 이동
- 주파수 영역 \(\hat{M}(f) = -j\,\mathrm{sgn}(f)M(f)\), 시간 영역 \(\hat{m}(t) = m(t) * \frac{1}{\pi t}\)
- 변환쌍 \(\frac{1}{\pi t} \rightleftharpoons -j\,\mathrm{sgn}(f)\)는 부호 함수 변환과 쌍대성으로 유도
- \(\cos \to \sin\), \(\sin \to -\cos\) → 4장의 광대역 \(-90°\) 위상 천이기와 같음
- 실수 신호는 \(M(-f) = M^*(f)\)라 한쪽 스펙트럼만으로 충분하며, \(\frac{1}{2}M(f)[1 \mp \mathrm{sgn}(f)]\)로 한쪽만 남길 수 있음
- 해석 신호 \(m(t) + j\hat{m}(t)\)는 양의 주파수 성분만 가짐 (\(2M(f)u(f)\))
- SSB는 \(s(t) = \frac{A_c}{2}\mathrm{Re}\left\{[m(t) \pm j\hat{m}(t)]e^{j2\pi f_c t}\right\}\) (+: 상측, −: 하측)
- 힐베르트 변환은 에너지를 보존하고, 두 번 적용하면 \(-m(t)\), 원래 신호와 직교
End.