04. Communication Theory_Amplitude Modulation
04. Communication Theory_Amplitude Modulation
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학습 목표
- 변조의 의미와 AM 계열(AM, DSB-SC, SSB, VSB)의 차이 이해
- AM(DSB-LC) 신호의 시간 영역 표현과 스펙트럼, 대역폭 이해
- 단일톤 변조의 변조지수와 반송파/측파대 전력 분배 이해
- 포락선 검파기의 동작과 RC 시정수 조건 이해
- DSB-SC 변조(링 변조기)와 동기 검파, 위상 오차의 영향, Costas 수신기, QAM 이해
- SSB 변조(힐베르트 변환, 주파수 변별법, 위상 변별법)와 SSB 복조 이해
- 주파수 천이(혼합기), VSB 변조와 측파대 성형 필터 조건 이해
- 동위상·직교 성분 표현과 슈퍼헤테로다인 수신기 이해
- 과제 연습문제 3.17, 3.23 풀이
변조 (Modulation)
변조란?
- 정보를 가진 신호(메시지)에 따라 반송파(carrier wave)의 특정 특성을 변화시키는 과정
- 연속파 변조의 두 갈래
- 진폭 변조 (Amplitude Modulation): 반송파의 진폭을 바꿈 → 이번 장
- 주파수 변조 (Frequency Modulation): 반송파의 주파수(위상)를 바꿈 → 다음 장
쉬운 설명:
- 음성(수 kHz)을 그대로 안테나로 보내기는 어려움 (안테나 크기가 파장에 비례하므로 너무 커짐)
- 그래서 높은 주파수의 반송파에 메시지를 “실어서” 보내고, 받는 쪽에서 다시 꺼내는(복조) 것
AM 변조 계열
| 방식 | 전송하는 것 | 대역폭 | 특징 |
|---|---|---|---|
| AM (DSB-LC) | 반송파 + 상측파대 + 하측파대 | \(2W\) | 수신기가 간단(포락선 검파), 전력 낭비 |
| DSB-SC | 상측파대 + 하측파대 | \(2W\) | 반송파 전력 절약, 동기 검파 필요 |
| SSB | 상측파대 또는 하측파대 | \(W\) | 최소 전력·최소 대역폭, 구현이 복잡 |
| VSB | 한 측파대 + 다른 측파대의 일부(잔류물) | \(W + f_v\) | SSB와 DSB-SC의 절충 |
진폭 변조 (AM, DSB-LC)
정의
- 정현파 반송파 (sinusoidal carrier wave)
- 진폭 변조파 (Double Sideband - Large Carrier, DSB-LC)
| 기호 | 의미 |
|---|---|
| \(m(t)\) | 메시지 신호 (대역폭 \(W\)) |
| \(k_a\) | 진폭 감도 (amplitude sensitivity) |
| \(f_c\) | 반송파 주파수 |
(중요!!) 포락선이 메시지 모양을 유지하기 위한 두 조건
- \(\lvert k_a m(t) \rvert < 1\) (모든 \(t\)): \(1 + k_a m(t)\)가 항상 양수여야 함
- \(f_c \gg W\): 반송파 주파수가 메시지 대역폭보다 훨씬 커야 함
- 조건 1이 만족되면 \(s(t)\)의 포락선(envelope) \(A_c[1 + k_a m(t)]\)이 메시지 \(m(t)\)와 같은 모양
- 조건 1이 깨지면(과변조, overmodulation) \(1 + k_a m(t) < 0\)인 구간에서 위상 반전(phase reversal)이 생기고, 실제 포락선은 \(\lvert 1 + k_a m(t) \rvert\)가 되어 메시지가 왜곡됨
AM의 푸리에 변환
2장의 변환쌍을 이용
\[\cos(2\pi f_c t) = \frac{1}{2}\left[e^{j2\pi f_c t} + e^{-j2\pi f_c t}\right], \qquad e^{j2\pi f_c t} \rightleftharpoons \delta(f - f_c), \qquad m(t)\, e^{j2\pi f_c t} \rightleftharpoons M(f - f_c)\]\(s(t) = A_c \cos(2\pi f_c t) + k_a A_c\, m(t) \cos(2\pi f_c t)\)를 변환하면
\[S(f) = \frac{A_c}{2}\left[\delta(f - f_c) + \delta(f + f_c)\right] + \frac{k_a A_c}{2}\left[M(f - f_c) + M(f + f_c)\right]\]
- 첫째 항: 반송파에 해당하는 델타 함수 한 쌍
- 둘째 항: 메시지 스펙트럼이 \(\pm f_c\)로 옮겨진 것 (2장의 주파수 이동, 변조 정리)
- \(m(t)\)의 \((-W, 0)\) 영역 스펙트럼이 AM에서 \(f_c\) 왼쪽에 나타남 → 하측파대 (LSB, lower sideband)
- \(m(t)\)의 \((0, W)\) 영역 스펙트럼이 \(f_c\) 오른쪽에 나타남 → 상측파대 (USB, upper sideband)
- 실수 메시지는 \(\lvert M(f) \rvert\)가 우함수이므로 \(f_c\)를 기준으로 상측파대와 하측파대는 대칭
- AM 신호의 대역폭
→ 메시지 대역폭의 2배
단일톤 변조 (Single-Tone Modulation)
변조지수
메시지가 정현파 하나인 경우
\[m(t) = A_m \cos(2\pi f_m t), \qquad s(t) = A_c[1 + \mu \cos(2\pi f_m t)] \cos(2\pi f_c t), \qquad \mu = k_a A_m\]- \(\mu\): 변조지수 (modulation factor), 왜곡이 없으려면 \(\mu \le 1\)
- 포락선의 최댓값 \(A_{\max} = A_c(1 + \mu)\), 최솟값 \(A_{\min} = A_c(1 - \mu)\)이므로
→ 오실로스코프로 파형의 최대·최소만 재면 변조지수를 구할 수 있음
단일톤 AM의 스펙트럼
곱→합 공식 \(\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A + B) + \cos(A - B)]\)로 전개하면
\[s(t) = A_c \cos(2\pi f_c t) + \frac{1}{2}\mu A_c \cos\big(2\pi(f_c + f_m)t\big) + \frac{1}{2}\mu A_c \cos\big(2\pi(f_c - f_m)t\big)\] \[S(f) = \frac{A_c}{2}\left[\delta(f - f_c) + \delta(f + f_c)\right] + \frac{\mu A_c}{4}\left[\delta(f - f_c - f_m) + \delta(f + f_c + f_m)\right] + \frac{\mu A_c}{4}\left[\delta(f - f_c + f_m) + \delta(f + f_c - f_m)\right]\]- 반송파 1개 + 측파대 주파수 2개(\(f_c \pm f_m\)) → 정현파 세 개의 합
- 참고: 강의 자료의 \(\cos\big(2\pi(f_m - f_c)t\big)\)는 \(\cos\)가 우함수라서 \(\cos\big(2\pi(f_c - f_m)t\big)\)와 같음
전력 분배
진폭 \(A\)인 정현파의 평균 전력은 \(\frac{A^2}{2}\) (1 Ω 기준)
| 성분 | 진폭 | 전력 |
|---|---|---|
| 반송파 | \(A_c\) | \(\frac{1}{2}A_c^2\) |
| 상측 주파수 | \(\frac{1}{2}\mu A_c\) | \(\frac{1}{8}\mu^2 A_c^2\) |
| 하측 주파수 | \(\frac{1}{2}\mu A_c\) | \(\frac{1}{8}\mu^2 A_c^2\) |
| 합계 | \(\frac{1}{2}A_c^2\left(1 + \frac{\mu^2}{2}\right)\) |
- \(\mu = 1\) (100% 변조): 반송파 \(\frac{2}{3}\), 전체 측파대 \(\frac{1}{3}\) → 최선의 경우에도 전력의 1/3만 정보 전달에 쓰임
- \(\mu = \frac{1}{5}\) (20% 변조): 한쪽 측파대 전력 \(= \frac{1}{8} \times \frac{1}{5^2} A_c^2 = \frac{1}{100} \times \frac{1}{2}A_c^2\) → 반송파 전력의 1%
FFT로 단일톤 AM의 스펙트럼과 전력을 확인하면 다음과 같음 (\(A_c = 1\), \(\mu = 0.5\))
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import numpy as np
fs = 100_000 # 샘플링 주파수 [Hz]
t = np.arange(0, 1, 1 / fs) # 1초
Ac, fc, fm, mu = 1.0, 10_000, 1_000, 0.5
s = Ac * (1 + mu * np.cos(2 * np.pi * fm * t)) * np.cos(2 * np.pi * fc * t)
S = np.fft.rfft(s) / len(s) # 양의 주파수 쪽 복소 진폭 (= 진폭/2)
f = np.fft.rfftfreq(len(s), 1 / fs)
for k in np.where(np.abs(S) > 1e-3)[0]:
amp = 2 * np.abs(S[k]) # 정현파 진폭
print(f"{f[k]:>6.0f} Hz: 진폭 {amp:.3f}, 전력 {amp**2 / 2:.4f}")
P_total = np.mean(s ** 2)
print(f"총 전력 {P_total:.4f}, 이론값 {Ac**2 / 2 * (1 + mu**2 / 2):.4f}")
print(f"측파대 전력 비율 {mu**2 / (2 + mu**2):.4f}")
실행 결과
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9000 Hz: 진폭 0.250, 전력 0.0312
10000 Hz: 진폭 1.000, 전력 0.5000
11000 Hz: 진폭 0.250, 전력 0.0312
총 전력 0.5625, 이론값 0.5625
측파대 전력 비율 0.1111
- 측파대 진폭 \(\frac{1}{2}\mu A_c = 0.25\), 전력 \(\frac{1}{8}\mu^2 A_c^2 = 0.03125\)로 이론과 일치
- \(\mu = 0.5\)이면 측파대 전력은 전체의 약 11%뿐
포락선 검파기 (Envelope Detector)
구조와 동작
- 다이오드 + 커패시터 \(C\) + 부하 저항 \(R_l\)로 구성된 가장 간단한 AM 복조기
- 다이오드가 켜지면(입력 > 출력) 입력 = 출력이 되도록 \(C\)가 충전
- 다이오드가 꺼지면 \(C\)에 쌓인 전하가 \(R_l\)을 통해 천천히 방전
- 결과적으로 반송파의 꼭짓점을 이어 포락선을 따라감
동작 조건
- AM파는 협대역(narrowband): 반송파 주파수가 메시지 대역폭보다 매우 큼
- 변조율(percent modulation)은 100% 이하 (과변조 없음)
(중요!!) RC 시정수 조건
\[(r_f + R_s)C \ll \frac{1}{f_c}, \qquad \frac{1}{f_c} \ll R_l C \ll \frac{1}{W}\]| 조건 | 의미 |
|---|---|
| \((r_f + R_s)C \ll \frac{1}{f_c}\) | 충전은 반송파 한 주기보다 훨씬 빨라야 꼭짓점을 따라감 (\(r_f\): 다이오드 순방향 저항, \(R_s\): 소스 저항) |
| \(\frac{1}{f_c} \ll R_l C\) | 방전은 반송파 주기보다 충분히 느려야 리플이 작음 |
| \(R_l C \ll \frac{1}{W}\) | 방전이 메시지 변화보다는 빨라야 내려가는 포락선을 따라감 |
- 왼쪽: \(R_l C\)가 너무 작으면 반송파 주기마다 거의 0까지 방전 → 큰 리플
- 가운데: 적절한 \(R_l C\) → 포락선을 잘 따라감 (작은 톱니 리플은 이후 LPF로 제거)
- 오른쪽: \(R_l C\)가 너무 크면 포락선이 빨리 내려갈 때 따라가지 못함 → 왜곡
진폭 변조(DSB-LC)의 한계
- 전력 낭비: 정보가 없는 반송파를 전송하는 데 전력 대부분을 씀 (최대 2/3 이상)
- 대역폭 낭비: 상측파대와 하측파대에 같은 정보가 들어 있는데 둘 다 보냄 → 송신 대역폭이 메시지 대역폭의 2배
→ 이를 개선한 것이 DSB-SC(반송파 제거), SSB(측파대 하나만), VSB(절충)
DSB-SC (Double Sideband - Suppressed Carrier)
정의
- 반송파와 메시지의 곱으로 구성 → 곱 변조 (product modulation)
- 변조 정리(시간 곱 ↔ 주파수 컨볼루션)에 의해
- 반송파 델타가 없음 → 반송파 전력을 아낌
- 점유 대역폭은 여전히 \(2W\) (AM과 동일)
- \(m(t)\)의 부호가 바뀔 때마다 위상이 반전되므로 포락선이 메시지와 다름 → 포락선 검파 불가, 동기 검파가 필요
링 변조기 (Ring Modulator)
- 다이오드 4개를 고리 모양으로 연결한 DSB-SC 변조기
- 반송파 대신 구형파 \(w(t)\)로 다이오드를 스위칭
- \(w(t)\)가 양수일 때 \(D_1\), \(D_2\)가 켜짐 → 메시지가 그대로 통과
- \(w(t)\)가 음수일 때 \(D_3\), \(D_4\)가 켜짐 → 메시지의 부호가 반전
- 결과적으로 \(m(t) \times (\pm 1\) 구형파\()\)가 되고, 구형파는 \(f_c\)와 그 홀수 배 고조파의 합
- \(f_c\)에 맞춘 대역통과 필터(BPF)로 \(f_c\) 성분만 남기면 DSB-SC 신호
DSB-SC 복조: 동기 검파 (Coherent Detection)
동작 원리
- 수신단에서 \(f_c\)의 정현파를 자체적으로 만들어(국부 발진기) 수신 신호와 곱한 뒤 저역통과 필터(LPF)를 통과
- 국부 발진기의 위상 오차를 \(\phi\)라 하면
- 사용한 공식: \(\cos\theta_1 \cos\theta_2 = \frac{1}{2}\cos(\theta_1 + \theta_2) + \frac{1}{2}\cos(\theta_1 - \theta_2)\)
- LPF가 \(2f_c\) 성분을 제거하면
위상 오차의 영향
- \(\phi\): 위상 오차(phase error), 일반적으로 여러 요인에 의해 랜덤하게 변화
- 출력이 \(\cos\phi\)만큼 감쇄(attenuation)
- \(\phi = \pm\frac{\pi}{2}\)이면 \(\cos\phi = 0\) → 출력이 완전히 사라짐 (quadrature null effect)
- 따라서 수신기의 국부 발진기는 송신 반송파와 주파수와 위상이 모두 동기되어야 함
시뮬레이션으로 위상 오차에 따른 출력 크기를 확인하면 다음과 같음 (\(A_c = A_c' = 1\))
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import numpy as np
from scipy import signal
fs = 200_000
t = np.arange(0, 0.05, 1 / fs)
fc, fm = 20_000, 500
m = np.cos(2 * np.pi * fm * t) # 메시지
s = m * np.cos(2 * np.pi * fc * t) # DSB-SC (Ac = 1)
b, a = signal.butter(6, 2_000, fs=fs) # 차단 2 kHz 저역통과 필터
for deg in [0, 30, 60, 90]:
phi = np.deg2rad(deg)
v = s * np.cos(2 * np.pi * fc * t + phi) # 국부 발진기 (A'c = 1)
vo = signal.filtfilt(b, a, v)
gain = np.max(np.abs(vo[2000:-2000])) # 가장자리 과도 응답 제외
print(f"phi = {deg:2d}도: 출력 진폭 {gain:.3f}, 이론 0.5*cos(phi) = {0.5 * np.cos(phi):.3f}")
실행 결과
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phi = 0도: 출력 진폭 0.500, 이론 0.5*cos(phi) = 0.500
phi = 30도: 출력 진폭 0.433, 이론 0.5*cos(phi) = 0.433
phi = 60도: 출력 진폭 0.250, 이론 0.5*cos(phi) = 0.250
phi = 90도: 출력 진폭 0.000, 이론 0.5*cos(phi) = 0.000
Costas 수신기 (Costas Receiver)
위상 동기를 자동으로 맞추는 DSB-SC 수신기
- 두 개의 동기 검파기로 구성
- I-채널 (In-phase): 국부 발진기 \(\cos(2\pi f_c t + \phi)\)를 곱함
- Q-채널 (Quadrature): \(-90°\) 위상 천이기를 거친 \(\sin(2\pi f_c t + \phi)\)를 곱함
- 각 채널의 LPF 출력 (\(A_c = 1\)로 정규화)
- 위상 판별기(phase discriminator)가 두 출력을 곱함 (\(\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2}\sin 2\theta\) 이용)
- \(\phi\)가 작으면 \(e(t) \approx \frac{1}{4}m^2(t)\,\phi\) → \(\phi\)의 부호와 크기를 알려주는 오차 신호
- \(e(t) = 0\)이 되도록 전압 제어 발진기(VCO)의 위상을 조절 → \(\phi \to 0\)
- 그러면 I-채널 출력은 \(I(t) = \frac{1}{2}m(t)\cos 0 = \frac{1}{2}m(t)\)로 메시지가 복원됨
직교 진폭 변조 (QAM, Quadrature-Amplitude Modulation)
- 두 DSB-SC 신호가 같은 채널 대역폭을 공유하는 방법 (quadrature-carrier multiplexing)
- 수신기: \(2\cos(2\pi f_c t)\)를 곱하고 LPF → \(A_c m_1(t)\), \(2\sin(2\pi f_c t)\)를 곱하고 LPF → \(A_c m_2(t)\)
- \(\cos\)와 \(\sin\)이 직교하기 때문에 서로 간섭하지 않음 (곱하면 \(\sin 2\theta\) 성분만 남고 LPF로 제거됨)
- 동기화를 유지하기 위해 변조 신호의 통과대역 밖에 파일럿 신호(pilot signal)를 함께 보냄
- 대역폭 \(2W\)로 메시지 두 개를 보내므로 대역폭 효율은 SSB와 같음
DSB-LC vs DSB-SC
| 항목 | DSB-LC (AM) | DSB-SC |
|---|---|---|
| 점유 대역폭 | \(2W\) | \(2W\) (동일) |
| 송신 전력 | 반송파 때문에 더 많이 필요 | 측파대 전력만 |
| 수신기 | 간단 (포락선 검파) | 복잡 (동기 검파, 위상 동기 필요) |
단측파대 변조 (SSB, Single-Sideband)
단일톤으로 본 SSB
DSB-SC의 두 측파대 중 한쪽을 억제. 단일톤 \(m(t) = A_m\cos(2\pi f_m t)\)이면
\[s_{\mathrm{DSB}}(t) = A_c A_m \cos(2\pi f_c t)\cos(2\pi f_m t) = \frac{1}{2}A_c A_m \cos\big(2\pi(f_c + f_m)t\big) + \frac{1}{2}A_c A_m \cos\big(2\pi(f_c - f_m)t\big)\]덧셈정리 \(\cos(\theta_1 \pm \theta_2) = \cos\theta_1\cos\theta_2 \mp \sin\theta_1\sin\theta_2\)를 쓰면
\[s_{\mathrm{USSB}}(t) = \frac{1}{2}A_c A_m \cos\big(2\pi(f_c + f_m)t\big) = \frac{1}{2}A_c A_m \cos(2\pi f_c t)\cos(2\pi f_m t) - \frac{1}{2}A_c A_m \sin(2\pi f_c t)\sin(2\pi f_m t)\] \[s_{\mathrm{LSSB}}(t) = \frac{1}{2}A_c A_m \cos\big(2\pi(f_c - f_m)t\big) = \frac{1}{2}A_c A_m \cos(2\pi f_c t)\cos(2\pi f_m t) + \frac{1}{2}A_c A_m \sin(2\pi f_c t)\sin(2\pi f_m t)\] \[\therefore\; s_{\mathrm{SSB}}(t) = \frac{1}{2}A_c A_m \cos(2\pi f_c t)\cos(2\pi f_m t) \mp \frac{1}{2}A_c A_m \sin(2\pi f_c t)\sin(2\pi f_m t)\]- 부호 \(-\): 상측 SSB, 부호 \(+\): 하측 SSB
일반 메시지로 확장: 힐베르트 변환
메시지를 정현파들의 합 \(m(t) = \sum_n a_n\cos(2\pi f_n t)\)로 보면, 각 \(\cos\)를 \(\sin\)으로 바꾼 신호가 필요
\[\hat{m}(t) = \mathcal{H}\{m(t)\} = \sum_n a_n \sin(2\pi f_n t)\] \[s_{\mathrm{SSB}}(t) = \frac{1}{2}A_c\, m(t)\cos(2\pi f_c t) \mp \frac{1}{2}A_c\, \hat{m}(t)\sin(2\pi f_c t)\]- 주기 신호의 푸리에 급수 표현은 비주기 신호의 푸리에 변환으로 수렴하므로 일반 신호에도 성립
- \(\hat{m}(t)\)는 \(m(t)\)의 힐베르트(Hilbert) 변환
- 힐베르트 변환기의 전달함수
- 진폭 응답은 양·음의 주파수 모두 1 (unity) → 크기는 그대로
- 위상 응답은 양의 주파수에서 \(-90°\), 음의 주파수에서 \(+90°\) → 모든 주파수 성분을 1/4 주기씩 지연
- 그래서 \(\cos \to \sin\), 즉 광대역 \(-90°\) 위상 천이기
SSB의 스펙트럼
\(s(t) = \frac{A_c}{2}m(t)\cos(2\pi f_c t) \mp \frac{A_c}{2}\hat{m}(t)\sin(2\pi f_c t)\)를 변환하고 \(\hat{M}(f) = -jM(f)\,\mathrm{sgn}(f)\)를 넣으면
\[\begin{aligned} S(f) &= \frac{A_c}{4}\left[M(f - f_c) + M(f + f_c)\right] \mp \frac{A_c}{4j}\left[\hat{M}(f - f_c) - \hat{M}(f + f_c)\right] \\ &= \frac{A_c}{4}\left[M(f - f_c) + M(f + f_c)\right] \mp \frac{A_c}{4j}\left[-jM(f - f_c)\,\mathrm{sgn}(f - f_c) + jM(f + f_c)\,\mathrm{sgn}(f + f_c)\right] \\ &= \frac{A_c}{4}\big(1 \pm \mathrm{sgn}(f - f_c)\big)M(f - f_c) + \frac{A_c}{4}\big(1 \mp \mathrm{sgn}(f + f_c)\big)M(f + f_c) \end{aligned}\]상측 SSB (위쪽 부호), 양의 주파수 쪽만 보면 \(\mathrm{sgn}(f + f_c) = 1\)이므로 둘째 항은 0
- \(f > f_c\): \(\mathrm{sgn}(f - f_c) = 1\) → \(S(f) = \frac{A_c}{4}(1 + 1)M(f - f_c) = \frac{A_c}{2}M(f - f_c)\)
- \(0 < f < f_c\): \(\mathrm{sgn}(f - f_c) = -1\) → \(S(f) = 0\)
하측 SSB (아래쪽 부호), 양의 주파수 쪽에서는
- \(f > f_c\): \((1 - 1) = 0\) → \(S(f) = 0\)
- \(0 < f < f_c\): \((1 - (-1)) = 2\) → \(S(f) = \frac{A_c}{2}M(f - f_c)\)
- 이때 둘째 항의 \((1 + 1)M(f + f_c)\)는 \(f_c > W\)이면 음의 주파수 영역에만 존재
- SSB는 대역폭이 \(W\) (DSB의 절반)이고 측파대 하나만 보내므로 전력도 최소
- 음성 신호의 전송에 적합 (음성은 약 300 Hz 이하에 에너지가 거의 없어서 두 측파대 사이에 에너지 간극(energy gap)이 있음)
- 단점: 구현 시 비용과 복잡성 증가
scipy.signal.hilbert로 힐베르트 변환을 구해서 SSB를 만들어 보면 다음과 같음
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import numpy as np
from scipy.signal import hilbert
fs = 100_000
t = np.arange(0, 1, 1 / fs)
fc = 10_000
m = np.cos(2 * np.pi * 1_000 * t) + 0.5 * np.cos(2 * np.pi * 2_000 * t)
m_hat = np.imag(hilbert(m)) # 힐베르트 변환 (각 cos -> sin)
for name, sign in [("상측 SSB", -1), ("하측 SSB", +1)]:
s = 0.5 * m * np.cos(2 * np.pi * fc * t) + sign * 0.5 * m_hat * np.sin(2 * np.pi * fc * t)
S = np.abs(np.fft.rfft(s)) / len(s) * 2
f = np.fft.rfftfreq(len(s), 1 / fs)
lines = [f"{f[k]:.0f} Hz({S[k]:.3f})" for k in np.where(S > 1e-3)[0]]
print(name + ":", ", ".join(lines))
실행 결과
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상측 SSB: 11000 Hz(0.500), 12000 Hz(0.250)
하측 SSB: 8000 Hz(0.250), 9000 Hz(0.500)
hilbert()는 해석 신호 \(m(t) + j\hat{m}(t)\)를 돌려주므로 허수부가 \(\hat{m}(t)\)- 상측 SSB는 \(f_c + 1, f_c + 2\) kHz, 하측 SSB는 \(f_c - 1, f_c - 2\) kHz에만 성분이 있음 → 한쪽 측파대만 남음
SSB 생성 방법 1: 주파수 변별법 (Frequency Discrimination Method)
- 곱 변조기: 상측파대와 하측파대를 가진 DSB-SC 파형 생성
- 대역통과 필터: 상측 SSB 혹은 하측 SSB 중 하나만 통과
- 필터가 두 측파대를 가르려면 측파대 사이에 충분히 넓은 간격(\(2f_a\), \(f_a\): 메시지의 최저 주파수)이 필요 → 음성처럼 저주파 성분이 없는 신호에 적합
SSB 생성 방법 2: 위상 변별법 (Phase Discrimination Method)
- 두 개의 병렬 경로로 구성
- 동위상 경로 (in-phase path): \(m(t) \times \cos(2\pi f_c t)\)
- 직교 위상 경로 (quadrature path): \(\hat{m}(t) \times \sin(2\pi f_c t)\)
- 두 경로의 곱 변조기에 들어가는 반송파는 \(-90°\)의 위상차
- 광대역 위상 천이기(wide-band phase-shifter)가 \(m(t)\)의 힐베르트 변환 \(\hat{m}(t)\)를 생성
- 두 경로를 더하거나 빼면 \(s(t) = \frac{A_c}{2}m(t)\cos(2\pi f_c t) \mp \frac{A_c}{2}\hat{m}(t)\sin(2\pi f_c t)\) (빼면 상측, 더하면 하측)
SSB 복조: 동기 검출
- DSB-SC의 동기 검출기와 유사, 단 \(W < f_c\)를 반드시 충족해야 함
- 상측 SSB 예시 (위상 오차 \(\phi = 0\) 가정)
- 두 성분(기저대역 \([0, W]\)와 \(2f_c\) 근처 \([2f_c, 2f_c + W]\))을 필터로 분리하려면 \(W < f_c\)
주파수 천이 (Frequency Translation)
- SSB의 “주파수 옮기기” 개념은 메시지뿐 아니라 이미 변조된 신호에도 일반화 가능
- 반송 주파수 \(f_1\)의 변조파를 새로운 반송 주파수 \(f_2\)로 옮김
- 상향 변환 (up conversion): \(f_2 = f_1 + f_L\)
- 하향 변환 (down conversion): \(f_2 = f_1 - f_L\)
- 구성: 혼합기(mixer) = 곱 변조기(국부 발진기 \(A_l\cos(2\pi f_L t)\)) + 대역통과 필터
- 곱셈 후 스펙트럼은 \(f_1 + f_L\)과 \(\lvert f_1 - f_L \rvert\) 두 곳에 생기고, BPF가 원하는 쪽만 남김
- 강의 자료에서는 혼합기 발진기 주파수 조건을 \(f_L > f_1 + W\)로 제시
- 일반적으로는 두 복사본이 서로, 그리고 0 Hz를 넘어 겹치지 않을 만큼 떨어져 있어야 BPF로 분리 가능
잔류측파대 변조 (VSB, Vestigial Sideband)
필요성
- 텔레비전 영상 신호처럼 광대역 신호가 저주파 성분(거의 0 Hz)까지 포함하면 두 측파대 사이에 간격이 없어 SSB 필터를 만들 수 없음
- DSB-SC는 가능하지만 메시지 대역폭의 2배가 필요
- VSB는 한 측파대를 거의 다 보내고, 다른 측파대는 완전히 제거하는 대신 흔적(trace) 혹은 잔류물(vestige)만 보냄
- 전송 대역폭
| 기호 | 의미 |
|---|---|
| \(f_v\) | 잔류 대역폭 (vestige bandwidth), 전형적으로 \(W\)의 약 25% |
| \(W\) | 메시지 대역폭 |
→ SSB의 대역폭 \(W\)와 DSB-SC의 대역폭 \(2W\) 사이
측파대 성형 필터 (Sideband Shaping Filter)
- 곱 변조기(DSB-SC 생성) + 측파대 성형 필터 \(H(f)\)로 VSB를 생성
- 잔류물이 손실된 측파대 부분을 정확히 보상하려면 다음을 반드시 충족해야 함
- 전달함수는 \(f_c\)에 대해 기함수 대칭(odd symmetry) (\(f_c\)에서 크기 0.5)
- \(u(f)\): 주파수 영역의 단위 계단 함수 (\(f > 0\)에서 1, \(f < 0\)에서 0)
- \(H_v(f)\): 계단에서 뺄 “보정” 부분, 기함수이므로 \(f_c\) 위쪽에서 잘린 만큼 아래쪽에 남음
VSB 복조와 조건의 의미
동기 검출기(\(A_c'\cos(2\pi f_c t)\) 곱 + LPF, \(\phi = 0\))로 복조
\[V(f) = \frac{1}{2}A_c'\left[S(f - f_c) + S(f + f_c)\right], \qquad S(f) = \frac{1}{2}A_c\left[M(f - f_c) + M(f + f_c)\right]H(f)\] \[\begin{aligned} V(f) &= \frac{1}{4}A_c A_c'\, M(f)\left[H(f - f_c) + H(f + f_c)\right] + \frac{1}{4}A_c A_c'\left[M(f - 2f_c)H(f - f_c) + M(f + 2f_c)H(f + f_c)\right] \\ &\xrightarrow{\text{LPF}}\; \frac{1}{4}A_c A_c'\, M(f) \quad \left(\because H(f + f_c) + H(f - f_c) = 1\right) \end{aligned}\]- 성형 필터 조건 덕분에 기저대역에서 두 측파대 조각이 더해져서 정확히 원래 \(M(f)\)가 됨
- 조건이 깨지면 \(M(f)\)에 \([H(f - f_c) + H(f + f_c)]\)라는 주파수 의존 가중치가 곱해져 왜곡
정현 VSB (Sinusoidal VSB)
\(m(t) = A_m\cos(2\pi f_m t)\), \(c(t) = A_c\cos(2\pi f_c t)\)에서 상측파대의 크기를 \(k\), 하측파대를 \((1 - k)\)로 두면
\[S(f) = \frac{k}{4}A_m A_c\left[\delta(f - (f_c + f_m)) + \delta(f + (f_c + f_m))\right] + \frac{1 - k}{4}A_m A_c\left[\delta(f - (f_c - f_m)) + \delta(f + (f_c - f_m))\right]\] \[\begin{aligned} s(t) &= \frac{k}{2}A_m A_c \cos\big(2\pi(f_c + f_m)t\big) + \frac{1 - k}{2}A_m A_c \cos\big(2\pi(f_c - f_m)t\big) \\ &= \frac{1}{2}A_m A_c \cos(2\pi f_c t)\cos(2\pi f_m t) + \frac{1 - 2k}{2}A_m A_c \sin(2\pi f_c t)\sin(2\pi f_m t) \end{aligned}\]| \(k\) | \(s(t)\) |
|---|---|
| \(k = \frac{1}{2}\) | DSB-SC와 동일 (두 측파대 크기가 같음) |
| \(k = 0\) | 하측 SSB |
| \(k = 1\) | 상측 SSB |
| \(0 < k < \frac{1}{2}\) | 상측 주파수의 감쇠된 형태가 잔류물 |
| \(\frac{1}{2} < k < 1\) | 하측 주파수의 감쇠된 형태가 잔류물 |
- 강의 자료의 예: \(m(t) = A\cos(2\pi f_1 t) + B\cos(2\pi f_2 t)\)를 VSB 필터에 통과시키면 \(f_c - f_1\) 성분은 \(\epsilon\)배, \(f_c + f_1\) 성분은 \((1 - \epsilon)\)배로 바뀜 → 두 크기의 합이 1이 되도록 보상됨
정현 VSB의 동기 검출
\[\begin{aligned} v(t) &= A_c' s(t)\cos(2\pi f_c t) \\ &= \frac{1}{2}A_m A_c A_c' \cos(2\pi f_m t)\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(4\pi f_c t)\right) + \frac{1 - 2k}{2}A_m A_c A_c' \sin(2\pi f_m t)\left(\frac{1}{2}\sin(4\pi f_c t)\right) \\ &= \frac{1}{4}A_m A_c A_c' \cos(2\pi f_m t) + \frac{1}{4}A_m A_c A_c'\left[\cos(2\pi f_m t)\cos(4\pi f_c t) + (1 - 2k)\sin(2\pi f_m t)\sin(4\pi f_c t)\right] \end{aligned}\]- LPF가 \(2f_c\) 성분을 제거하면 \(\frac{1}{4}A_m A_c A_c'\cos(2\pi f_m t)\) → \(k\)와 무관하게 메시지 복원
변조된 파형의 일반 표현
동위상 성분과 직교 성분
모든 선형 변조파는 다음 꼴로 쓸 수 있음
\[s(t) = s_I(t)\cos(2\pi f_c t) - s_Q(t)\sin(2\pi f_c t) = s_I(t)\,c(t) - s_Q(t)\,\hat{c}(t)\]| 기호 | 의미 |
|---|---|
| \(s_I(t)\) | 동위상(in-phase) 성분 |
| \(s_Q(t)\) | 직교(quadrature) 위상 성분 |
| \(\tilde{s}(t) = s_I(t) + js_Q(t)\) | 복소 포락선 (complex envelope) |
| \(\tilde{c}(t) = \cos(2\pi f_c t) + j\sin(2\pi f_c t) = e^{j2\pi f_c t}\) | 복소 반송파 |
- 확인: \((s_I + js_Q)(\cos + j\sin)\)의 실수부 \(= s_I\cos - s_Q\sin\) ✓
- 분석기(analyzer): \(s(t)\)에 \(2\cos(2\pi f_c t)\), \(-2\sin(2\pi f_c t)\)를 각각 곱하고 LPF → \(s_I(t)\), \(s_Q(t)\)
- 합성기(synthesizer): \(s_I(t)\cos(2\pi f_c t) - s_Q(t)\sin(2\pi f_c t)\)를 만들어 \(s(t)\) 복원
각 변조 방식의 동위상·직교 성분 (반송파 진폭 1)
| 방식 | \(s_I(t)\) | \(s_Q(t)\) | 비고 |
|---|---|---|---|
| AM | \(1 + k_a m(t)\) | \(0\) | |
| DSB-SC | \(m(t)\) | \(0\) | |
| 상측 SSB | \(\frac{1}{2}m(t)\) | \(\frac{1}{2}\hat{m}(t)\) | \(\hat{m}\): 힐베르트 변환 |
| 하측 SSB | \(\frac{1}{2}m(t)\) | \(-\frac{1}{2}\hat{m}(t)\) | |
| VSB (하측파대 잔류) | \(\frac{1}{2}m(t)\) | \(\frac{1}{2}m'(t)\) | \(m'\): 필터 \(H_Q(f)\)의 응답 |
| VSB (상측파대 잔류) | \(\frac{1}{2}m(t)\) | \(-\frac{1}{2}m'(t)\) | \(H_Q(f) = -j[H(f + f_c) - H(f - f_c)]\) |
- AM, DSB-SC는 직교 성분이 없고, SSB·VSB는 직교 성분이 한쪽 측파대를 지우는 역할
슈퍼헤테로다인 수신기 (Superheterodyne Receiver)
AM 라디오 수신기의 기본 구조
| 단계 | 역할 |
|---|---|
| RF 단 (RF section) | 원하는 방송 주파수 근처를 선택·증폭 |
| 혼합기 (Mixer) + 국부 발진기 | 수신 신호를 고정된 중간 주파수(IF)로 하향 변환 (주파수 천이) |
| IF 단 (IF section) | 대부분의 필터링과 증폭을 고정 주파수에서 수행 |
| 포락선 검파기 | AM 복조 |
| 오디오 증폭기 | 스피커 구동 |
- 수신기가 해야 할 일: 주파수 동조(원하는 전파 선택), 필터링(원하는 신호 분리), 증폭(전력 손실 보상)
- RF 단과 국부 발진기는 함께 동조(common tuning) → 어떤 방송을 고르든 혼합기 출력은 항상 같은 IF
- 중간 주파수 (IF): 입력 반송파보다는 낮고 원본 신호 주파수보다는 높은 주파수
- 장점: 날카로운 필터를 고정 주파수 하나에만 만들면 됨
| 항목 | AM 라디오 | FM 라디오 |
|---|---|---|
| RF 반송파 범위 | 0.535 ~ 1.605 MHz | 88 ~ 108 MHz |
| IF 중심 주파수 | 0.455 MHz | 10.7 MHz |
| IF 대역폭 | 10 kHz | 200 kHz |
연습문제 풀이
과제 파일 중 이번 장(AM)에 해당하는 문제는 3.17, 3.23
연습문제 3.17 사인 반송파를 쓰는 AM의 스펙트럼
이 장에서는 반송파로 \(c(t) = A_c\cos(2\pi f_c t)\)를 사용했다. 대신 \(c(t) = A_c\sin(2\pi f_c t)\)를 반송파로 쓰고, 메시지도 \(m(t) = A_m\sin(2\pi f_m t)\)로 정의한다고 하자. (a) 새로운 AM 정의 \(s(t) = A_c[1 + k_a m(t)]\sin(2\pi f_c t)\)의 스펙트럼을 구하라. (b) (a)의 결과를 예제 3.1(cos 반송파의 단일톤 AM)과 비교하라. (c) 이 정의는 예제 3.1의 변조 이론에 어떤 차이를 만드는가?
참고: 문제지에는 \(m(t)\)의 진폭이 \(A_c\)로 인쇄되어 보이지만 메시지 진폭이므로 \(A_m\)으로 둠 (\(A_c\)로 두어도 \(\mu = k_a A_c\)로 바뀔 뿐 풀이는 같음)
(a) 스펙트럼
- \(\mu = k_a A_m\)으로 두고 전개
- 곱→합 공식 \(\sin A\sin B = \frac{1}{2}[\cos(A - B) - \cos(A + B)]\) 적용
- 변환쌍 \(\sin(2\pi f_0 t) \rightleftharpoons \frac{1}{2j}[\delta(f - f_0) - \delta(f + f_0)]\), \(\cos(2\pi f_0 t) \rightleftharpoons \frac{1}{2}[\delta(f - f_0) + \delta(f + f_0)]\) 적용
| 주파수 | 복소 값 | 크기 | 위상 |
|---|---|---|---|
| \(+f_c\) | \(-j\frac{A_c}{2}\) | \(\frac{A_c}{2}\) | \(-90°\) |
| \(-f_c\) | \(+j\frac{A_c}{2}\) | \(\frac{A_c}{2}\) | \(+90°\) |
| \(\pm(f_c - f_m)\) (하측파대) | \(+\frac{\mu A_c}{4}\) | \(\frac{\mu A_c}{4}\) | \(0°\) |
| \(\pm(f_c + f_m)\) (상측파대) | \(-\frac{\mu A_c}{4}\) | \(\frac{\mu A_c}{4}\) | \(180°\) |
- 검산: \(s(t)\)가 실수이므로 \(S(-f) = S^*(f)\)여야 함 → \(\pm f_c\)에서 \((-j)^* = +j\), 나머지는 실수라 성립
(b) 예제 3.1과 비교
| 항목 | 예제 3.1 (cos, cos) | 문제 3.17 (sin, sin) |
|---|---|---|
| 선 스펙트럼 위치 | \(\pm f_c\), \(\pm(f_c \pm f_m)\) | 같음 |
| 크기 | 반송파 \(\frac{A_c}{2}\), 측파대 \(\frac{\mu A_c}{4}\) | 같음 |
| 위상 (\(f > 0\)) | 모두 \(0°\) | 반송파 \(-90°\), 상측 \(180°\), 하측 \(0°\) |
| 전송 대역폭 | \(2f_m\) | 같음 |
| 반송파 / 측파대 전력 | \(\frac{1}{2}A_c^2\) / 각각 \(\frac{1}{8}\mu^2 A_c^2\) | 같음 |
| 포락선 | \(A_c\lvert 1 + \mu\cos(2\pi f_m t) \rvert\) | \(A_c\lvert 1 + \mu\sin(2\pi f_m t) \rvert\) (시간만 \(\frac{1}{4f_m}\) 이동) |
- 위상이 그렇게 나오는 이유: \(\sin x = \cos(x - \frac{\pi}{2})\)이므로 반송파와 메시지가 모두 \(-90°\) 늦은 \(\cos\)
- 상측파대(합 주파수) 위상 \(= -90° + (-90°) = -180°\)
- 하측파대(차 주파수) 위상 \(= -90° - (-90°) = 0°\)
- 위상은 전력에 영향을 주지 않으므로 전력은 같음 (수치로도 \(A_c = 2\), \(\mu = 0.6\)에서 두 신호의 평균 전력이 모두 2.36)
(c) 변조 이론에 주는 차이
- 본질적인 차이는 없음: \(\sin(2\pi f_c t) = \cos\big(2\pi f_c(t - \frac{1}{4f_c})\big)\)로, 같은 반송파를 1/4 주기 늦게 본 것 → 시간 원점(기준 위상)의 문제
- 그대로인 것: 포락선 구조 \(A_c\lvert 1 + k_a m(t) \rvert\), 진폭 스펙트럼 \(\lvert S(f) \rvert\), 대역폭 \(B_T = 2W\), 전력 분배, 과변조 조건 \(\lvert k_a m(t) \rvert \le 1\), 포락선 검파
- 바뀌는 것: 위상 스펙트럼뿐
- 단, 동기 검파처럼 수신기가 반송파 위상을 쓰는 경우에는 국부 발진기도 \(\sin\)으로 맞춰야 함 → \(\cos\)를 쓰면 위상 오차 \(\phi = 90°\)가 되어 출력이 \(\cos\phi = 0\)배로 사라짐
연습문제 3.23 DSB-SC 동기 검파와 최저 반송파 주파수
그림 3.31의 스펙트럼을 갖는 메시지 신호 \(m(t)\) (대역폭 \(W = 1\) kHz)를 반송파 \(A_c\cos(2\pi f_c t)\)와 함께 곱 변조기에 넣어 DSB-SC 신호 \(s(t)\)를 만들고, 이를 동기 검파기에 넣는다. 변조기와 검파기의 반송파가 완벽히 동기되었다고 할 때, (a) \(f_c = 1.25\) kHz, (b) \(f_c = 0.75\) kHz에서 검파기 출력의 스펙트럼을 구하라. \(s(t)\)의 각 성분이 \(m(t)\)로 유일하게 결정되는 최저 반송파 주파수는 얼마인가?
참고: 그림 3.31이 받은 자료에 없어서 풀이는 \(\lvert f \rvert \le W\)에만 있는 임의의 \(M(f)\)에 대해 쓰고, 그림은 삼각형 \(M(f)\)로 예를 듦 (실제 모양이 달라도 겹치는 구간과 결론은 같음)
1단계: DSB-SC 스펙트럼
\[S(f) = \frac{A_c}{2}\left[M(f - f_c) + M(f + f_c)\right]\]- \(M(f - f_c)\)는 \([f_c - W, f_c + W]\), \(M(f + f_c)\)는 \([-f_c - W, -f_c + W]\)에 있음
2단계: 동기 검파기의 곱셈 출력 (\(\phi = 0\), \(\cos^2\theta = \frac{1}{2}(1 + \cos 2\theta)\))
\[v(t) = A_c'\cos(2\pi f_c t)\,s(t) = \frac{A_c A_c'}{2}m(t) + \frac{A_c A_c'}{2}m(t)\cos\big(2\pi(2f_c)t\big)\] \[V(f) = \frac{A_c A_c'}{2}M(f) + \frac{A_c A_c'}{4}\left[M(f - 2f_c) + M(f + 2f_c)\right]\]- 복사본 \(M(f - 2f_c)\)는 \([2f_c - W, 2f_c + W]\)에 있음
- 기저대역 \([-W, W]\)와 겹치지 않을 조건: \(2f_c - W \ge W\), 즉 \(f_c \ge W\)
3단계: LPF 출력 (통과대역 \(\lvert f \rvert \le W\))
(a) \(f_c = 1.25\) kHz
- \(s(t)\): \(M(f - f_c)\)는 \(0.25 \sim 2.25\) kHz, \(M(f + f_c)\)는 \(-2.25 \sim -0.25\) kHz → 두 측파대가 겹치지 않음
- \(v(t)\): 복사본이 \(1.5 \sim 3.5\) kHz → 기저대역(\(\lvert f \rvert \le 1\) kHz)과 겹치지 않음 (1 ~ 1.5 kHz가 비어 있음)
(b) \(f_c = 0.75\) kHz
- \(s(t)\): \(M(f - f_c)\)는 \(-0.25 \sim 1.75\) kHz, \(M(f + f_c)\)는 \(-1.75 \sim 0.25\) kHz → \(\lvert f \rvert \le 0.25\) kHz에서 두 조각이 겹쳐 어느 측파대 성분인지 구별 불가
- \(v(t)\): 복사본 \(M(f - 1.5\text{ kHz})\)가 \(0.5 \sim 2.5\) kHz → 기저대역과 \(0.5 \le \lvert f \rvert \le 1\) kHz에서 겹침
- \(\lvert f \rvert < 0.5\) kHz에서는 원래 모양이지만 \(0.5 \le \lvert f \rvert \le 1\) kHz에서는 둘째 항이 더해져 왜곡
- 삼각형 예(\(M(f) = 1 - \lvert f \rvert / W\), \(A_c A_c' = 1\))에서 \(f = 0.75\) kHz: 원하는 값 \(\frac{1}{2} \times 0.25 = 0.125\), 실제 값 \(0.125 + \frac{1}{4} \times 0.25 = 0.1875\)
최저 반송파 주파수
- \(s(t)\)의 각 성분이 \(m(t)\)로 유일하게 정해지려면 양의 주파수 쪽 조각 \([f_c - W, f_c + W]\)가 \(f = 0\)을 넘어가지 않아야 함
- 이때 검파기의 복사본은 \([1, 3]\) kHz로 기저대역과 경계점 하나에서만 닿으므로 이상적 LPF로 복원 가능
- 실제 필터는 전이 대역이 필요하므로 \(f_c \gg W\)로 보호 대역을 둠 (LPF 차단 주파수 \(B\)는 \(W \le B \le 2f_c - W\)에서 선택)
랜덤한 대역 제한 메시지로 시뮬레이션해서 확인하면 다음과 같음
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import numpy as np
fs, N = 64_000, 64_000 # 1초, 주파수 해상도 1 Hz
t = np.arange(N) / fs
f = np.fft.fftfreq(N, 1 / fs)
W = 1_000 # 메시지 대역폭 1 kHz
rng = np.random.default_rng(0)
M = np.fft.fft(rng.standard_normal(N))
M[np.abs(f) >= W] = 0 # |f| < W 로 대역 제한
m = np.real(np.fft.ifft(M))
def ideal_lpf(x, B):
X = np.fft.fft(x)
X[np.abs(f) > B] = 0
return np.real(np.fft.ifft(X))
for fc in [1_250, 1_000, 750]:
s = m * np.cos(2 * np.pi * fc * t) # DSB-SC (Ac = 1)
v = s * np.cos(2 * np.pi * fc * t) # 동기 검파 (A'c = 1, phi = 0)
vo = ideal_lpf(v, W)
err = np.max(np.abs(vo - m / 2)) / np.max(np.abs(m / 2))
print(f"fc = {fc / 1000:.2f} kHz: 출력과 m(t)/2의 최대 오차 {100 * err:.1f}%")
실행 결과
1
2
3
fc = 1.25 kHz: 출력과 m(t)/2의 최대 오차 0.0%
fc = 1.00 kHz: 출력과 m(t)/2의 최대 오차 0.0%
fc = 0.75 kHz: 출력과 m(t)/2의 최대 오차 40.0%
- \(f_c \ge W\)이면 오차 0%, \(f_c = 0.75\) kHz이면 겹친 복사본 때문에 큰 왜곡 (오차 크기는 메시지 스펙트럼 모양에 따라 달라짐)
일반 규칙 (메시지 대역폭 \(W\), 반송파 \(f_c\))
| 항목 | 조건 / 구간 |
|---|---|
| \(s(t)\)의 두 측파대가 겹칠 조건 | \(f_c < W\), 겹치는 구간 \(\lvert f \rvert \le W - f_c\) |
| 곱셈 후 복사본 위치 | \([2f_c - W, 2f_c + W]\) |
| 복사본이 기저대역과 겹치는 구간 | \(2f_c - W \le \lvert f \rvert \le W\) (\(f_c < W\)일 때) |
| 왜곡 없는 복원 조건 | \(f_c \ge W\) |
| 출력 크기 | \(\frac{A_c A_c'}{2}\)배 (\(\cos^2\)의 \(\frac{1}{2}\) 때문) |
강의 자료에서 정정한 부분 정리
| 위치 | 강의 자료 | 정정 | 이유 |
|---|---|---|---|
| 강의 자료 5, 6쪽 | \(\frac{k_a A_c}{2}[M(f - f_c) + M(f - f_c)]\) | \(\frac{k_a A_c}{2}[M(f - f_c) + M(f + f_c)]\) | 음의 주파수 쪽 측파대, 결과가 달라짐 |
| 강의 자료 5, 17쪽 | \(\cos(j2\pi f_c t)\) | \(\cos(2\pi f_c t)\) | 오타 |
| 강의 자료 29쪽 | \(s_{\mathrm{LSSB}}(t) = \frac{1}{2}A_c A_m\cos\big(2\pi(f_c + f_m)t\big)\) | \(\frac{1}{2}A_c A_m\cos\big(2\pi(f_c - f_m)t\big)\) | 하측파대는 차 주파수, 바로 아래 줄의 전개식과도 일치 |
| 강의 자료 32쪽 | \(+j\hat{M}(f + f_c)\,\mathrm{sgn}(f + f_c)\) | \(+jM(f + f_c)\,\mathrm{sgn}(f + f_c)\) | \(\hat{M} = -jM\,\mathrm{sgn}\)을 대입한 결과, 다음 줄과도 일치 |
| 강의 자료 43쪽 | DSB-SB | DSB-SC | 오타 |
최종 핵심 정리
- 변조는 메시지에 따라 반송파의 특성을 바꾸는 것이며, AM 계열은 AM(DSB-LC), DSB-SC, SSB, VSB
- AM: \(s(t) = A_c[1 + k_a m(t)]\cos(2\pi f_c t)\), 조건 \(\lvert k_a m(t) \rvert < 1\)과 \(f_c \gg W\), 대역폭 \(B_T = 2W\)
- 단일톤 AM의 측파대 전력 비율은 \(\frac{\mu^2}{2 + \mu^2}\)로 \(\mu = 1\)에서도 1/3 → 반송파가 전력을 낭비
- 포락선 검파기는 간단하지만 \(\frac{1}{f_c} \ll R_l C \ll \frac{1}{W}\)와 과변조 없음이 필요
- DSB-SC는 반송파를 없애 전력을 아끼지만 동기 검파가 필요하고, 출력은 \(\cos\phi\)만큼 줄어듦 → Costas 수신기로 위상 동기, QAM으로 같은 대역에 두 신호 전송
- SSB는 \(s(t) = \frac{A_c}{2}m(t)\cos(2\pi f_c t) \mp \frac{A_c}{2}\hat{m}(t)\sin(2\pi f_c t)\), 힐베르트 변환 \(H(f) = -j\,\mathrm{sgn}(f)\)를 이용하며 대역폭 \(W\)
- VSB는 대역폭 \(W + f_v\), 측파대 성형 필터 조건 \(H(f + f_c) + H(f - f_c) = 1\)로 왜곡 없이 복조
- 모든 선형 변조는 \(s(t) = s_I\cos(2\pi f_c t) - s_Q\sin(2\pi f_c t)\)로 표현되며, 슈퍼헤테로다인 수신기는 혼합기로 고정 IF로 옮긴 뒤 필터링·증폭
End.