05. Communication Theory_Angle Modulation (FM, PM)
05. Communication Theory_Angle Modulation (FM, PM)
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학습 목표
- 각변조의 의미와 순시 주파수의 정의 이해
- 위상 변조(PM)와 주파수 변조(FM)의 정의, 둘 사이의 관계 이해
- 각변조의 특성(일정한 전력, 비선형성, 불규칙한 영점 교차) 이해
- 협대역 FM의 근사식과 AM과의 차이(페이저 해석) 이해
- 광대역 FM의 스펙트럼을 베셀 함수로 표현하는 방법 이해
- 카슨의 법칙과 1% 기준 만능 곡선으로 전송 대역폭 구하기
- FM 발생(직접 방식, 암스트롱 간접 방식)과 복조(주파수 변별기, 위상 동기 루프) 이해
각변조 (Angle Modulation)
개요
- 반송파의 각(angle), 즉 위상이나 주파수를 메시지에 따라 바꾸는 변조
- AM과 비교한 특징
| 항목 | 각변조 (FM, PM) |
|---|---|
| 처리 과정 | 비선형(nonlinear) → 스펙트럼 분석이 매우 어려움 |
| 전송 대역폭 | 이론상 무한대 (실제로는 유효 대역폭으로 제한) |
| 잡음 영향 | 첨가 잡음의 영향이 진폭 변조보다 작음 |
쉬운 설명:
- 잡음은 주로 신호의 진폭을 흔듦
- 각변조는 정보가 진폭이 아니라 위상·주파수에 있으므로 잡음에 강함
- 대신 넓은 대역폭이 필요 → 대역폭과 잡음 성능을 맞바꾸는 변조
순시 주파수 (Instantaneous Frequency)
각변조된 신호는
\[s(t) = A_c \cos[\theta_i(t)]\]작은 시간 구간 \([t, t + \Delta t]\) 동안의 평균 주파수 (i는 instantaneous)
\[f_{\Delta t}(t) = \frac{\theta_i(t + \Delta t) - \theta_i(t)}{2\pi\Delta t}\]\(\Delta t \to 0\)으로 보내면 순시 주파수
\[f_i(t) = \lim_{\Delta t \to 0} f_{\Delta t}(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\theta_i(t + \Delta t) - \theta_i(t)}{2\pi\Delta t} = \frac{1}{2\pi}\frac{d\theta_i(t)}{dt}\]- 변조되지 않은 반송파(\(m(t) = 0\))라면 \(\theta_i(t) = 2\pi f_c t + \phi_c\)이므로 \(f_i(t) = f_c\)
- 즉 각을 미분하면 주파수, 주파수를 적분하면 각
위상 변조와 주파수 변조
위상 변조 (PM, Phase Modulation)
- 순시 각 \(\theta_i(t)\)가 메시지 \(m(t)\)에 대해 선형적으로 변함 (\(\phi_c = 0\) 가정)
- \(k_p\): 위상 감도 인자 (phase sensitivity factor), 단위 rad/V
주파수 변조 (FM, Frequency Modulation)
- 순시 주파수가 메시지에 따라 선형적으로 변함
- \(k_f\): 주파수 감도 인자 (frequency sensitivity factor), 단위 Hz/V
- 각은 주파수를 적분해서 얻으므로
PM과 FM의 정의 비교 ⭐️
| 항목 | 위상 변조 (PM) | 주파수 변조 (FM) |
|---|---|---|
| 순시 각 \(\theta_i(t)\) | \(2\pi f_c t + k_p m(t)\) | \(2\pi f_c t + 2\pi k_f \int_0^t m(\tau)\, d\tau\) |
| 순시 주파수 \(f_i(t)\) | \(f_c + \frac{k_p}{2\pi}\frac{dm(t)}{dt}\) | \(f_c + k_f m(t)\) |
| 변조파 \(s(t)\) | \(A_c\cos[2\pi f_c t + k_p m(t)]\) | \(A_c\cos\left[2\pi f_c t + 2\pi k_f \int_0^t m(\tau)\, d\tau\right]\) |
- AM은 진폭이 메시지를 따라가므로 파형만 보고도 메시지를 짐작할 수 있음
- PM은 메시지의 기울기(\(\frac{dm}{dt}\))가 클 때, FM은 메시지의 값이 클 때 파형이 촘촘해짐
- 그래서 PM, FM 파형은 메시지를 눈으로 읽기 어려움
각변조의 특성
1. 전송 전력의 불변성
- PM, FM 파형의 진폭은 \(k_p\)나 \(k_f\)와 무관하게 항상 반송파 진폭 \(A_c\)로 일정
- 따라서 평균 전송 전력도 메시지와 상관없이 일정
- AM은 메시지에 따라 전력이 달라졌던 것과 대조적
2. 비선형성
- 각변조는 중첩의 원리가 성립하지 않음
- \(m(t) = m_1(t) + m_2(t)\)일 때 PM의 경우
- 메시지는 \(\cos\) 함수 안에 들어가 있으므로, 두 메시지를 더한 결과는 각각의 변조파를 더한 것과 다름
- FM도 적분 \(\int (m_1 + m_2)\, d\tau\)가 \(\cos\) 안에 있으므로 똑같이 비선형
- 이 때문에 AM처럼 “메시지 스펙트럼을 옮긴다”는 간단한 분석이 불가능
3. 불규칙적인 영점 교차
- PM은 \(m(t)\), FM은 \(\int_0^t m(\tau)\, d\tau\)에 따라 각이 바뀌므로 영점 교차점(zero crossing)의 간격이 규칙적이지 않음
- 이 때문에 메시지 파형을 눈으로 확인하기 어려움
4. 대역폭과 잡음 성능의 교환
- 잡음 성능을 높이려면 전송 대역폭을 늘려야 함 (주파수 편차를 키울수록 잡음에 강해짐)
예제: PM과 FM의 영점 교차점 비교
조건
메시지가 \(t = 0\)부터 일정하게 증가하는 램프 신호
\[m(t) = \begin{cases} at, & t \ge 0 \\ 0, & t < 0 \end{cases} \qquad f_c = \frac{1}{4}\ \mathrm{Hz},\quad a = 1,\quad k_p = \frac{\pi}{2}\ \mathrm{rad/V},\quad k_f = 1\ \mathrm{Hz/V}\]PM의 영점 교차
\(t \ge 0\)에서 \(s(t) = A_c\cos(2\pi f_c t + k_p a t)\). 영점은 \(\cos\)의 인자가 \(\frac{\pi}{2} + n\pi\)인 순간
\[2\pi f_c t_n + k_p a t_n = \frac{\pi}{2} + n\pi \quad\Rightarrow\quad t_n = \frac{\frac{1}{2} + n}{2f_c + \frac{k_p}{\pi}a} = \frac{1}{2} + n, \qquad n = 0, 1, 2, \dots\]- 램프의 기울기가 일정하므로 PM의 순시 주파수는 \(f_c + \frac{k_p a}{2\pi} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\) Hz로 일정 → 영점 간격도 1초로 일정
FM의 영점 교차
\(\int_0^t a\tau\, d\tau = \frac{a}{2}t^2\)이므로 \(t \ge 0\)에서
\[s(t) = A_c\cos\left[2\pi f_c t + 2\pi k_f \frac{a}{2}t^2\right] = A_c\cos\left[2\pi f_c t + \pi k_f a t^2\right]\]영점 조건은 \(t_n\)에 대한 2차 방정식
\[2\pi f_c t_n + \pi k_f a t_n^2 = \frac{\pi}{2} + n\pi \quad\Rightarrow\quad k_f a\, t_n^2 + 2f_c\, t_n - \left(\frac{1}{2} + n\right) = 0\]근의 공식에서 양수 근을 고르면
\[t_n = \frac{1}{a k_f}\left[-f_c + \sqrt{f_c^2 + a k_f\left(\frac{1}{2} + n\right)}\right] = \frac{1}{4}\left(-1 + \sqrt{9 + 16n}\right), \qquad n = 0, 1, 2, \dots\]- FM의 순시 주파수 \(f_c + k_f a t\)가 시간에 따라 계속 커지므로 영점 간격이 점점 좁아짐
두 공식으로 영점을 직접 계산하면 다음과 같음
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import numpy as np
fc, a, kp, kf = 0.25, 1.0, np.pi / 2, 1.0 # 강의 자료의 값
n = np.arange(11)
t_pm = (0.5 + n) / (2 * fc + kp * a / np.pi) # PM: 2*pi*fc*t + kp*a*t = pi/2 + n*pi
t_fm = (-fc + np.sqrt(fc**2 + a * kf * (0.5 + n))) / (a * kf) # FM: 2*pi*fc*t + pi*kf*a*t^2 = pi/2 + n*pi
print("PM 영점:", np.round(t_pm, 4))
print("FM 영점:", np.round(t_fm, 4))
print("FM 영점 간격:", np.round(np.diff(t_fm), 4))
실행 결과
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PM 영점: [ 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10.5]
FM 영점: [0.5 1. 1.3508 1.6375 1.886 2.1085 2.3117 2.5 2.6762 2.8423
3. ]
FM 영점 간격: [0.5 0.3508 0.2867 0.2485 0.2225 0.2032 0.1883 0.1762 0.1662 0.1577]
- 예: \(n = 7\)이면 \(\sqrt{9 + 112} = \sqrt{121} = 11\)이므로 \(t_7 = \frac{1}{4}(-1 + 11) = 2.5\)로 정확히 떨어짐
- 강의 자료의 \(t_5\) ~ \(t_{10}\) 값은 공식과 다름 (아래 정정 표 참고)
PM과 FM 파형의 관계
PM과 FM은 미분·적분 관계로 서로 바꿀 수 있음
| 생성하려는 파형 | 방법 | 이유 |
|---|---|---|
| FM | \(m(t)\)를 적분한 뒤 위상 변조기에 입력 | FM의 각에는 \(\int_0^t m(\tau)\, d\tau\)가 들어 있음 |
| PM | \(m(t)\)를 미분한 뒤 주파수 변조기에 입력 | 주파수 변조기는 입력을 적분하므로 \(\int \frac{dm}{d\tau}d\tau = m(t)\)가 각이 됨 |
- 즉 FM은 “적분한 메시지로 만든 PM”, PM은 “미분한 메시지로 만든 FM”
- 그래서 PM의 성질은 FM에서 유도할 수 있고, 이 장은 주로 FM을 다룸
협대역 주파수 변조 (Narrowband FM)
단일톤 FM
메시지가 정현파 하나인 경우
\[m(t) = A_m\cos(2\pi f_m t)\]순시 주파수
\[f_i(t) = f_c + k_f A_m\cos(2\pi f_m t) = f_c + \Delta f\cos(2\pi f_m t), \qquad \Delta f = k_f A_m\]- 주파수 편차 \(\Delta f\): 순시 주파수가 반송파 주파수 \(f_c\)로부터 벗어날 수 있는 최대 주파수 크기
순시 각
\[\theta_i(t) = \int_0^t 2\pi\big(f_c + \Delta f\cos(2\pi f_m \tau)\big)\, d\tau = 2\pi f_c t + 2\pi\Delta f\left[\frac{\sin(2\pi f_m \tau)}{2\pi f_m}\right]_0^t = 2\pi f_c t + \frac{\Delta f}{f_m}\sin(2\pi f_m t)\]변조 지수 (modulation index)
\[\beta = \frac{\Delta f}{f_m}\]- 주파수 편차와 메시지 주파수의 비 = 위상 편차의 최댓값(rad)
협대역 근사
- \(\beta\)가 1 라디안에 비해 작으면 협대역 FM
- 덧셈정리 \(\cos(A + B) = \cos A\cos B - \sin A\sin B\)로 전개
- 작은 각 근사: \(\cos\big(\beta\sin(2\pi f_m t)\big) \approx 1\), \(\sin\big(\beta\sin(2\pi f_m t)\big) \approx \beta\sin(2\pi f_m t)\)
협대역 FM 발생기
- 반송파를 2개의 경로로 나눔
- 하나는 그대로 전송
- 다른 하나는 \(-90°\) 위상 천이 후 적분된 \(m(t)\)와 곱해서 DSB-SC 파형을 만듦
- 두 경로를 빼면 위 근사식 → 협대역 위상 변조기에 적분기를 붙인 구조
데카르트 표현과 극 표현
비선형 변조를 묘사하기에는 극(polar) 형식이 더 적합
| 표현 | 수식 |
|---|---|
| 극 표현 | \(s(t) = a(t)\cos[2\pi f_c t + \phi(t)]\) (\(a(t)\): 포락선, \(\phi(t)\): 위상) |
| 데카르트 표현 | \(s(t) = s_I(t)\cos(2\pi f_c t) - s_Q(t)\sin(2\pi f_c t)\) (\(s_I\): 동위상, \(s_Q\): 직교 성분) |
두 표현 사이의 관계
\[a(t) = \left[s_I^2(t) + s_Q^2(t)\right]^{1/2}, \qquad \phi(t) = \tan^{-1}\left[\frac{s_Q(t)}{s_I(t)}\right]\]- 확인: \(a\cos(2\pi f_c t + \phi) = a\cos\phi\cos(2\pi f_c t) - a\sin\phi\sin(2\pi f_c t)\)이므로 \(s_I = a\cos\phi\), \(s_Q = a\sin\phi\)
- 협대역 FM은 \(s_I = A_c\), \(s_Q = \beta A_c\sin(2\pi f_m t)\)인 경우
협대역 FM과 AM 비교 ⭐️
곱→합 공식 \(\sin A\sin B = \frac{1}{2}[\cos(A - B) - \cos(A + B)]\)를 쓰면
\[s_{\mathrm{NBFM}}(t) \approx A_c\cos(2\pi f_c t) + \frac{1}{2}\beta A_c\left\{\cos\big[2\pi(f_c + f_m)t\big] - \cos\big[2\pi(f_c - f_m)t\big]\right\}\]AM (단일톤, 4장 예제 3.1)
\[s_{\mathrm{AM}}(t) = A_c\cos(2\pi f_c t) + \frac{1}{2}\mu A_c\left\{\cos\big[2\pi(f_c + f_m)t\big] + \cos\big[2\pi(f_c - f_m)t\big]\right\}\]- 두 식 모두 반송파 + \(f_c \pm f_m\)의 측파대 한 쌍으로 비슷해 보임 → 대역폭도 \(2f_m\)으로 같음
- 하지만 협대역 FM에서는 하측파대 성분의 부호가 음(−)
페이저 해석
협대역 FM
\[s_{\mathrm{sideband}}(t) = \frac{\beta A_c}{2}\left\{\cos\big[2\pi(f_c + f_m)t\big] - \cos\big[2\pi(f_c - f_m)t\big]\right\} = -\beta A_c\sin(2\pi f_c t)\sin(2\pi f_m t)\]- 측파대 성분은 \(\sin(2\pi f_c t)\)를 포함 → 반송파 \(\cos(2\pi f_c t)\)와 90도 위상차(직교)
- 두 측파대 페이저의 합이 반송파에 항상 수직 → 합성 페이저의 각(위상)이 변함
- 따라서 협대역 FM은 진폭은 (근사적으로) 변하지 않고 위상/주파수가 변조됨
- 엄밀히는 합성 페이저 길이가 \(A_c\sqrt{1 + \beta^2\sin^2(2\pi f_m t)}\)로 약간 변하지만, \(\beta\)가 작으면 무시할 수 있음
AM
\[s_{\mathrm{sideband}}(t) = \frac{\mu A_c}{2}\left\{\cos\big[2\pi(f_c + f_m)t\big] + \cos\big[2\pi(f_c - f_m)t\big]\right\} = \mu A_c\cos(2\pi f_c t)\cos(2\pi f_m t)\]- 측파대 성분이 반송파 \(\cos(2\pi f_c t)\)와 같은 위상
- 두 측파대 페이저의 합이 반송파와 같은 방향 → 합성 페이저의 길이(진폭)만 변함
쉬운 설명:
- 같은 재료(반송파 + 측파대 두 개)라도 측파대를 옆으로 붙이면 FM, 같은 방향으로 붙이면 AM
광대역 FM (Wideband FM)
복소 포락선
\(\beta\)가 클 때는 근사를 쓸 수 없으므로 정확히 분석. 반송파 주파수가 대역폭에 비해 충분히 크다고 가정하면
\[s(t) = A_c\cos[2\pi f_c t + \beta\sin(2\pi f_m t)] = \mathrm{Re}\left[A_c e^{j2\pi f_c t + j\beta\sin(2\pi f_m t)}\right] = \mathrm{Re}\left[\tilde{s}(t)\, e^{j2\pi f_c t}\right]\]- 복소 포락선 (complex envelope)
- 확인: \(s(t)e^{-j2\pi f_c t} = \frac{A_c}{2}e^{j\beta\sin(2\pi f_m t)} + \frac{A_c}{2}e^{-j(4\pi f_c t + \beta\sin(2\pi f_m t))}\)에서 LPF로 \(2f_c\) 성분을 없애고 2배 하면 \(\tilde{s}(t)\)
푸리에 급수 전개
- \(t\)를 \(t + \frac{k}{f_m}\)로 바꿔도 \(\sin\big(2\pi f_m t + 2k\pi\big) = \sin(2\pi f_m t)\)이므로 \(\tilde{s}(t)\)는 기본 주파수 \(f_m\)인 주기 함수
- 따라서 복소 푸리에 급수로 전개 가능
- 계수 (\(x = 2\pi f_m t\)로 치환)
- \(n\)차 제1종 베셀 함수 (Bessel function of the first kind)
FM의 시간 표현과 스펙트럼
\[\tilde{s}(t) = A_c\sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n(\beta)\exp(j2\pi n f_m t)\] \[s(t) = \mathrm{Re}\left[A_c\sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n(\beta)\exp\big(j2\pi(f_c + nf_m)t\big)\right] = A_c\sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n(\beta)\cos\big[2\pi(f_c + nf_m)t\big]\] \[S(f) = \frac{A_c}{2}\sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n(\beta)\left[\delta(f - f_c - nf_m) + \delta(f + f_c + nf_m)\right]\]- 스펙트럼은 \(f = f_c \pm nf_m\) (\(n = 0, 1, 2, \dots\))에 위치하는 무한 개의 델타 함수
- AM은 측파대가 한 쌍뿐이었지만, FM은 \(f_m\) 간격으로 무한히 많은 측파대가 생김 → 비선형성의 결과
단일톤 FM 스펙트럼의 특성 ⭐️
1. 진폭은 베셀 함수로 결정
- \(n\)차 측파대의 상대 크기는 \(J_n(\beta)\), 반송파의 상대 크기는 \(J_0(\beta)\)에 비례
2. 대칭성
\[J_n(\beta) = J_{-n}(\beta)\ (n \text{ 짝수}), \qquad J_n(\beta) = -J_{-n}(\beta)\ (n \text{ 홀수})\]- 진폭 스펙트럼 \(\lvert J_n \rvert\)은 반송파를 중심으로 좌우 대칭, 홀수 차 하측파대만 부호가 반대
3. \(\beta\)가 작은 경우
\[J_0(\beta) \approx 1, \qquad J_1(\beta) \approx \frac{\beta}{2}, \qquad J_n(\beta) \approx 0\ (n \ge 2)\] \[S(f) \approx \frac{A_c}{2}J_0(\beta)\left[\delta(f - f_c) + \delta(f + f_c)\right] + \frac{A_c}{2}J_1(\beta)\left[\delta(f - f_c - f_m) + \delta(f + f_c + f_m)\right] + \frac{A_c}{2}J_{-1}(\beta)\left[\delta(f - f_c + f_m) + \delta(f + f_c - f_m)\right]\]- 반송파와 \(f_c \pm f_m\)의 측파대 한 쌍만 남음 → 앞의 협대역 FM과 같은 결과 (\(J_{-1} = -J_1 = -\frac{\beta}{2}\)라서 하측파대 부호가 음)
4. 반송파 진폭이 \(\beta\)에 따라 변함
- AM은 반송파 진폭이 변조와 무관했지만, FM은 반송파 성분 진폭이 \(J_0(\beta)\)로 \(\beta\)에 의존
- \(J_0(\beta) = 0\)인 \(\beta = 2.405, 5.520, 8.654, \dots\)에서는 반송파가 완전히 사라짐
5. 전력은 항상 일정
\[\sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n^2(\beta) = 1\]- 반송파가 줄어든 만큼 측파대로 전력이 옮겨갈 뿐, 총 전력 \(\frac{1}{2}A_c^2\)은 그대로 (각변조 특성 1과 일치)
FM 신호를 FFT해서 각 선 스펙트럼의 진폭이 \(J_n(\beta)\)와 같은지 확인하면 다음과 같음 (\(A_c = 1\))
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import numpy as np
from scipy.special import jv
fs, fc, fm, Ac = 100_000, 10_000, 500, 1.0
t = np.arange(0, 1, 1 / fs)
f = np.fft.rfftfreq(len(t), 1 / fs)
for beta in [0.2, 1.0, 2.405]:
s = Ac * np.cos(2 * np.pi * fc * t + beta * np.sin(2 * np.pi * fm * t))
S = np.abs(np.fft.rfft(s)) / len(t) * 2 # 각 선 스펙트럼의 진폭
amp = [S[np.argmin(np.abs(f - (fc + k * fm)))] for k in range(4)]
print(f"beta = {beta}: FFT 진폭 (fc, fc+fm, fc+2fm, fc+3fm) =", np.round(amp, 4))
print(f" |J_n(beta)| (n = 0..3) =", np.round(np.abs(jv(range(4), beta)), 4))
beta = 5.0
n = np.arange(-60, 61)
print(f"beta = 5: sum J_n^2 = {np.sum(jv(n, beta) ** 2):.6f}")
실행 결과
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beta = 0.2: FFT 진폭 (fc, fc+fm, fc+2fm, fc+3fm) = [9.90e-01 9.95e-02 5.00e-03 2.00e-04]
|J_n(beta)| (n = 0..3) = [9.90e-01 9.95e-02 5.00e-03 2.00e-04]
beta = 1.0: FFT 진폭 (fc, fc+fm, fc+2fm, fc+3fm) = [0.7652 0.4401 0.1149 0.0196]
|J_n(beta)| (n = 0..3) = [0.7652 0.4401 0.1149 0.0196]
beta = 2.405: FFT 진폭 (fc, fc+fm, fc+2fm, fc+3fm) = [1.000e-04 5.191e-01 4.318e-01 1.990e-01]
|J_n(beta)| (n = 0..3) = [1.000e-04 5.191e-01 4.318e-01 1.990e-01]
beta = 5: sum J_n^2 = 1.000000
- \(\beta = 0.2\): \(J_1 \approx \frac{\beta}{2} = 0.1\)이고 \(J_2\) 이상은 거의 0 → 협대역
- \(\beta = 2.405\): 반송파(\(f_c\)) 성분이 거의 0
- 모든 경우에 FFT 결과와 베셀 함수 값이 일치하고, \(\sum J_n^2 = 1\)
FM 파형의 전송 대역폭
카슨의 법칙 (Carson’s Rule)
- 이론상 FM 파형은 무한 개의 측파대를 포함 → 대역폭이 무한대
- 실제로는 유의미한 측파대까지만 고려해서 유효 대역폭을 정함
- \(\beta\)가 큰 경우: 대역폭은 전체 주파수 변동 \(2\Delta f\)보다 약간 큰 정도
- \(\beta\)가 작은 경우: 반송파와 \(f_c \pm f_m\) 한 쌍으로 제한 → 대역폭 \(2f_m\)
- 두 경우를 합친 근사식
1% 기준 만능 곡선 (Universal Curve)
- 변조되지 않은 반송파 진폭의 1%를 기준으로 사용
- 대역폭을 “그 바깥에 있는 어떤 측파대도 반송파 진폭의 1%보다 크지 않은 범위”로 정의
- \(n_{\max}\): \(\lvert J_n(\beta) \rvert > 0.01\)을 만족하는 정수 \(n\)의 최댓값
- \(n_{\max}\)는 \(\beta\)에 따라 변하며, 베셀 함수 표에서 결정
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import numpy as np
from scipy.special import jv
print(" beta | 2n_max (1% 기준) | B_T/df (1%) | Carson B_T/df")
for beta in [0.1, 0.3, 0.5, 1, 2, 5, 10, 20, 30]:
n = np.arange(1, 200)
n_max = n[np.abs(jv(n, beta)) > 0.01].max() # |J_n| > 0.01 인 가장 큰 n
print(f"{beta:5} | {2 * n_max:16d} | {2 * n_max / beta:11.2f} | {2 * (1 + 1 / beta):13.2f}")
실행 결과
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beta | 2n_max (1% 기준) | B_T/df (1%) | Carson B_T/df
0.1 | 2 | 20.00 | 22.00
0.3 | 4 | 13.33 | 8.67
0.5 | 4 | 8.00 | 6.00
1 | 6 | 6.00 | 4.00
2 | 8 | 4.00 | 3.00
5 | 16 | 3.20 | 2.40
10 | 28 | 2.80 | 2.20
20 | 48 | 2.40 | 2.10
30 | 70 | 2.33 | 2.07
- 강의 자료 표(Haykin 표 4.2)와 비교하면 \(\beta = 20\)에서만 다름: 표는 50, 계산은 48
- 이유: \(\lvert J_{25}(20) \rvert = 0.00978\)로 기준 0.01에 아주 근소하게 못 미침 → 반올림하면 50
- 측파대 수 \(n_{\max}\)는 정수라서 1% 기준 곡선은 아래 그림처럼 계단(톱니) 모양으로 변함
(중요!!)
- 세로축이 \(B_T / \Delta f\)이므로, \(\beta\)가 작을수록 주파수 편차 \(\Delta f\)에 비해 넓은 대역폭이 필요 (측파대가 최소 한 쌍은 있어야 하므로 \(B_T \ge 2f_m\))
- \(\beta\)가 크면 \(B_T / \Delta f \to 2\), 즉 \(B_T \approx 2\Delta f\)
- 카슨의 법칙은 1% 기준보다 대역폭을 약간 작게 추정 → 실제 설계는 더 여유 있게 잡음
FM 파형의 발생
FM 파형의 순시 주파수 \(f_i(t) = f_c + k_f m(t)\)가 메시지에 따라 선형적으로 변하도록 만드는 것이 목표
직접 방식 (Direct Method)
- 정현 발진기 회로 내부의 소자(예: 커패시터)를 메시지 신호로 직접 조절
- 예: 하틀리 발진기에서 커패시터가 메시지에 따라 변하면
- 장점: 구현이 간단하고 큰 주파수 편차를 만들 수 있음
- 단점: 주파수 값이 흔들리는(불안정한) 심각한 한계 → 주파수 안정화를 위해 피드백 구조 사용 (크리스탈 발진기와 비교해서 VCO를 보정)
간접 방식: 암스트롱 변조기 (Armstrong Modulator)
- 메시지를 적분해서 \(\int_0^t m(\tau)\, d\tau\)를 얻음
- 이를 협대역 위상 변조기에 넣어 협대역 FM 생성
- 주파수 체배기(frequency multiplier)로 주파수 편차를 키워 광대역 FM으로 만듦
- 반송파 발진기로 크리스탈 발진기를 사용 → 반송파 주파수가 매우 정확함
- 직접 방식보다 잡음이 적고 고정밀 FM 파형 생성 가능
FM 신호의 복조
주파수 변별기 (Frequency Discriminator)
- FM 파형의 순시 주파수에서 \(m(t)\)를 복원 → 주파수 변화를 전압으로 바꿔주는 회로
- FM 신호를 미분하면
- 이는 \(f_c + k_f m(t)\)의 크기로 진폭 변조된 신호 (\(f_c > k_f\lvert m(t) \rvert\)이면 포락선이 항상 양수)
- 따라서 포락선 검파기로 메시지를 꺼낼 수 있음
- 주파수 변별기 = 미분기 + 포락선 검파기
미분기의 구현
- 이상적 미분기의 전달함수는 \(\frac{d}{dt} \rightleftharpoons j2\pi f\)
- 모든 주파수에서 이를 만족하는 회로는 만들기 어려움
- 대신 신호 대역폭 \([f_c - \frac{B_T}{2}, f_c + \frac{B_T}{2}]\) 안에서만 주파수에 선형인 응답을 갖는 회로(slope circuit)로 근사
- 평형 주파수 변별기 (balanced discriminator): 기울기가 반대인 두 회로의 출력 차이를 이용해서 선형 구간을 넓힘
미분기와 포락선 검파로 직접 복조해 보면 다음과 같음
1
2
3
4
5
6
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17
import numpy as np
from scipy.signal import hilbert
fs, fc, kf = 2_000_000, 10_000, 2_000 # kf: 주파수 감도 [Hz/V]
t = np.arange(0, 0.02, 1 / fs)
m = np.cos(2 * np.pi * 200 * t) + 0.5 * np.sin(2 * np.pi * 450 * t)
phase = 2 * np.pi * fc * t + 2 * np.pi * kf * np.cumsum(m) / fs # 2*pi*kf * m의 적분
s = np.cos(phase) # FM (Ac = 1)
ds = np.gradient(s, 1 / fs) # 1) 미분기: 진폭이 2*pi*(fc + kf*m)
env = np.abs(hilbert(ds)) # 2) 포락선 검파 (이상적)
m_hat = (env / (2 * np.pi) - fc) / kf # 진폭 -> 메시지로 환산
core = slice(2000, -2000) # 양 끝 경계 효과 제외
err = np.max(np.abs(m_hat[core] - m[core]))
print(f"메시지 최대 크기 {np.max(np.abs(m)):.3f}, 복원 최대 오차 {err:.4f}")
실행 결과
1
메시지 최대 크기 1.500, 복원 최대 오차 0.0020
- 메시지 크기 1.5에 비해 오차 0.002로 거의 정확히 복원
- 샘플링 주파수가 낮으면
np.gradient(차분) 미분이 부정확해져 오차가 커짐 → 실제 회로에서 “대역 안에서만 미분기를 근사”하는 것과 같은 문제
위상 동기 루프 (PLL, Phase-Locked Loop)
FM 파형의 위상/주파수에 VCO 출력을 동기시키는 피드백 시스템. 구성 요소:
- 전압 제어 발진기 (VCO, voltage-controlled oscillator)
- 곱셈기
- 루프 필터 (일반적으로 적분기)
동작 가정
- 입력이 0일 때 VCO는 \(f_c\)에 정확히 맞춰져 있음
- VCO 출력은 변조되지 않은 반송파와 90도 위상차 (입력을 \(\sin\)으로 가정)
- \(v(t)\): VCO의 제어 신호, \(k_v\): VCO의 주파수 감도 계수
- 목표: \(\phi_2(t)\)가 \(\phi_1(t)\)를 따라가도록 조정
곱셈기 출력 (\(\sin A\cos B = \frac{1}{2}[\sin(A - B) + \sin(A + B)]\))
\[s(t)\,r(t) = \frac{1}{2}A_c A_v\Big\{\underbrace{\sin\big[4\pi f_c t + \phi_1(t) + \phi_2(t)\big]}_{\text{고주파 성분}} + \underbrace{\sin\big[\phi_1(t) - \phi_2(t)\big]}_{\text{저주파 성분}}\Big\}\]- 루프 필터가 고주파 성분을 제거하면 남는 위상 오차 신호 (\(k_m\): 곱셈기 이득)
- 위상 오차가 0일 때 PLL이 위상 고정(phase-lock)되었다고 함
선형 모델과 출력
- 위상 오차
- \(\phi_e\)가 작다고 보고 \(\sin\phi_e \approx \phi_e\), \(k_m A_c A_v = 1\)로 정규화하면 \(v(t) = \int \phi_e(\tau)g(t - \tau)\, d\tau\) (\(g\): 루프 필터 임펄스 응답)
- 출력 전압
- 루프 이득이 커서 \(\left\lvert \frac{k_v}{jf}G(f) \right\rvert \gg 1\)이면
- \(j2\pi f\)를 곱하는 것은 미분이므로, \(\phi_1\)을 미분하면 \(2\pi k_f m(t)\)
- 즉 위상이 고정되면 VCO 제어 전압이 메시지에 비례 → 그대로 복조 출력
- 위 그림은 루프 필터를 상수 이득(20)으로 둔 1차 PLL을 시뮬레이션한 결과 (\(k_f = k_v\))
- 시작 직후의 짧은 과도 구간 뒤에는 \(v(t)\)가 \(\frac{k_f}{k_v}m(t)\)와 거의 겹침
연습 예제
과제 파일에는 이번 장(FM, PM)에 해당하는 문제가 없어서, 강의 내용을 확인하는 예제 두 개를 직접 정리함
예제 1. 상용 FM 방송의 대역폭
최대 주파수 편차 \(\Delta f = 75\) kHz, 메시지 최고 주파수 \(W = 15\) kHz인 FM 방송의 전송 대역폭을 카슨의 법칙과 1% 기준으로 각각 구하라.
풀이
- 변조 지수 (최악의 경우인 최고 주파수 기준): \(\beta = \frac{\Delta f}{W} = \frac{75}{15} = 5\)
- 카슨의 법칙
- 1% 기준: 위 표에서 \(\beta = 5\)이면 \(2n_{\max} = 16\)
- 해석: 카슨의 법칙이 1% 기준보다 작게 나옴 (만능 곡선 그림과 같은 결론). 실제 FM 방송 채널 간격(200 kHz)과 FM 라디오의 IF 대역폭(200 kHz, 4장 표)은 그 사이 값
예제 2. 메시지 주파수가 바뀔 때 PM과 FM의 차이
단일톤 메시지 \(m(t) = A_m\cos(2\pi f_m t)\)의 진폭은 고정하고 주파수 \(f_m\)만 2배로 늘리면, PM과 FM에서 주파수 편차 \(\Delta f\)와 변조 지수 \(\beta\)는 각각 어떻게 되는가?
풀이
| 항목 | FM | PM |
|---|---|---|
| 순시 각 | \(2\pi f_c t + \frac{k_f A_m}{f_m}\sin(2\pi f_m t)\) | \(2\pi f_c t + k_p A_m\cos(2\pi f_m t)\) |
| 순시 주파수 | \(f_c + k_f A_m\cos(2\pi f_m t)\) | \(f_c - k_p A_m f_m\sin(2\pi f_m t)\) |
| 주파수 편차 \(\Delta f\) | \(k_f A_m\) → 변화 없음 | \(k_p A_m f_m\) → 2배 |
| 변조 지수 \(\beta\) (최대 위상 편차) | \(\frac{k_f A_m}{f_m}\) → 절반 | \(k_p A_m\) → 변화 없음 |
- PM의 순시 주파수는 \(f_c + \frac{k_p}{2\pi}\frac{dm}{dt}\)이고, 미분하면 \(f_m\)이 앞으로 나오기 때문
- FM은 \(\Delta f\)가 일정해서 카슨 대역폭 \(2(\Delta f + f_m)\)이 \(f_m\)에 따라 조금만 변함
- PM은 \(\Delta f\)가 \(f_m\)에 비례해서 메시지 주파수가 높을수록 대역폭이 크게 늘어남 → 대역폭 관리가 쉬운 FM이 방송에 주로 쓰임
강의 자료에서 정정한 부분 정리
| 위치 | 강의 자료 | 정정 | 이유 |
|---|---|---|---|
| 강의 자료 3쪽 | \(d\theta_i(t) = 2\pi f_c t + \phi_c\) | \(\theta_i(t) = 2\pi f_c t + \phi_c\) | 미분 기호가 붙을 이유 없음 |
| 강의 자료 15쪽 | \(t_5 \approx 2.1073\), \(t_6 \approx 2.3087\), \(t_7 \approx 2.4944\), \(t_8 \approx 2.6671\), \(t_9 \approx 2.8290\), \(t_{10} \approx 2.9814\) | \(t_5 \approx 2.1085\), \(t_6 \approx 2.3117\), \(t_7 = 2.5\), \(t_8 \approx 2.6762\), \(t_9 \approx 2.8423\), \(t_{10} = 3\) | 같은 쪽 공식 \(\frac{1}{4}(-1 + \sqrt{9 + 16n})\)으로 계산한 값 (\(t_0\) ~ \(t_4\)는 맞음) |
| 강의 자료 25쪽 | \(s(t) = s_I\cos(2\pi f_c t) + s_Q\sin(2\pi f_c t)\) | \(s(t) = s_I\cos(2\pi f_c t) - s_Q\sin(2\pi f_c t)\) | 같은 쪽의 \(\phi = \tan^{-1}(s_Q / s_I)\), 4장 정의와 맞추려면 − 부호 |
| 강의 자료 26, 28쪽 | 협대역 FM \(A_c\cos(2\pi f_c t) - \frac{1}{2}\beta A_c\{\cos[2\pi(f_c + f_m)t] - \cos[2\pi(f_c - f_m)t]\}\) | \(A_c\cos(2\pi f_c t) + \frac{1}{2}\beta A_c\{\cdots\}\) | \(-\sin A\sin B = +\frac{1}{2}[\cos(A + B) - \cos(A - B)]\), 28쪽의 \(-\beta A_c\sin\sin\)과도 일치 |
| 강의 자료 26, 29쪽 | AM \(A_c\cos(2\pi f_c t) - \frac{1}{2}\mu A_c\{\cdots + \cdots\}\) | \(A_c\cos(2\pi f_c t) + \frac{1}{2}\mu A_c\{\cdots + \cdots\}\) | 4장 예제 3.1의 식, 29쪽의 \(s_{\mathrm{sideband}} = +\frac{1}{2}\mu A_c\{\cdots\}\)과도 일치 |
| 강의 자료 35~37쪽 | \(J_n(\beta) \approx 0,\ n > 2\) | \(J_n(\beta) \approx 0,\ n \ge 2\) | \(J_2(\beta) \approx \frac{\beta^2}{8}\)도 작은 \(\beta\)에서 무시 가능 (37쪽 식도 \(n = 0, \pm 1\)만 남김) |
| 강의 자료 41쪽 | ”\(\beta\)가 작은 경우 메시지 대역폭 대비 넓은 유효 대역폭이 필요” | ”\(\beta\)가 작은 경우 주파수 편차 \(\Delta f\) 대비 넓은 대역폭이 필요” | 곡선의 세로축이 \(B_T / \Delta f\), 작은 \(\beta\)에서 \(B_T \approx 2f_m\) |
최종 핵심 정리
- 각변조는 반송파의 각을 바꾸는 비선형 변조이며, 순시 주파수는 \(f_i(t) = \frac{1}{2\pi}\frac{d\theta_i}{dt}\)
- PM은 각이 \(k_p m(t)\), FM은 주파수가 \(k_f m(t)\)만큼 변함 → FM = 적분한 메시지의 PM, PM = 미분한 메시지의 FM
- 각변조는 진폭이 일정해서 전력 \(\frac{1}{2}A_c^2\)이 항상 일정하지만, 중첩의 원리가 성립하지 않고 영점 교차가 불규칙
- 단일톤 FM의 변조 지수 \(\beta = \frac{\Delta f}{f_m}\), \(\beta \ll 1\)이면 협대역 FM으로 AM과 같은 대역폭 \(2f_m\)을 갖지만 측파대 합이 반송파와 직교
- 광대역 FM은 \(s(t) = A_c\sum_n J_n(\beta)\cos[2\pi(f_c + nf_m)t]\)로 무한 개의 측파대를 가짐
- 반송파 진폭 \(J_0(\beta)\)는 \(\beta\)에 따라 변하고(\(\beta = 2.405\)에서 0), \(\sum J_n^2 = 1\)로 전력은 보존
- 전송 대역폭은 카슨의 법칙 \(B_T \approx 2\Delta f + 2f_m\), 또는 1% 기준 \(B_T = 2n_{\max}f_m\) (카슨이 약간 작게 추정)
- FM 발생은 직접 방식(VCO)과 간접 방식(암스트롱), 복조는 주파수 변별기(미분기 + 포락선 검파)와 PLL(\(v(t) = \frac{k_f}{k_v}m(t)\))
End.