02. Communication Theory_Fourier Transform
02. Communication Theory_Fourier Transform
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학습 목표
- 푸리에 변환의 정의와 존재 조건(디리클레 조건) 이해
- 진폭·위상 스펙트럼, 켤레 대칭 이해
- 푸리에 변환의 성질(선형성, 팽창, 쌍대성, 시간·주파수 이동, 미분·적분, 변조, 컨볼루션, 레일리 에너지 정리) 이해
- 대표 변환쌍(사각 펄스, sinc, 지수 펄스, 델타, 정현파, 부호·계단 함수) 유도
- 대역폭 정의와 시간-대역폭 곱 이해
- 주기 신호의 푸리에 급수와 푸리에 변환의 관계 이해
- 과제 연습문제 2.1 ~ 2.5, 2.8, 2.9, 2.19, 2.24, 2.27 풀이
시간 영역과 주파수 영역
같은 신호를 시간에 따른 값으로 볼 수도 있고, 어떤 주파수 성분이 얼마나 들어 있는지로 볼 수도 있음
- \(\cos(2\pi \cdot 10\,t)\) → 주파수 영역에서는 10 Hz에 크기 1인 막대 하나
- \(2\cos(2\pi \cdot 15\,t)\) → 15 Hz에 크기 2인 막대 하나
- 두 신호의 합은 시간 영역에서는 복잡해 보이지만, 주파수 영역에서는 막대 두 개로 간단히 보임
요약:
- 푸리에 변환은 시간 영역의 신호를 주파수 영역으로 바꾸는 도구
- 통신에서는 신호가 어떤 주파수 대역을 차지하는지가 핵심이므로, 주파수 영역에서 보는 것이 훨씬 편함
numpy로 위 스펙트럼을 직접 구하면 다음과 같음
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import numpy as np
fs = 1000 # 샘플링 주파수 [Hz]
t = np.arange(0, 1, 1 / fs) # 1초 동안 1000개 샘플
g = np.cos(2 * np.pi * 10 * t) + 2 * np.cos(2 * np.pi * 15 * t)
G = np.fft.rfft(g) # 양의 주파수 쪽 스펙트럼
f = np.fft.rfftfreq(len(g), 1 / fs)
amp = np.abs(G) / len(g) * 2 # 단측(single-sided) 진폭으로 환산
amp[0] /= 2 # 0 Hz(직류)는 2배 하지 않음
for k in np.where(amp > 0.1)[0]:
print(f"{f[k]:.0f} Hz: 진폭 {amp[k]:.2f}")
실행 결과
1
2
10 Hz: 진폭 1.00
15 Hz: 진폭 2.00
푸리에 변환의 정의
푸리에 변환 (Fourier Transform)
\[G(f) = \mathcal{F}[g(t)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(t)\, e^{-j2\pi f t}\, dt\]역 푸리에 변환 (Inverse Fourier Transform)
\[g(t) = \mathcal{F}^{-1}[G(f)] = \int_{-\infty}^{\infty} G(f)\, e^{+j2\pi f t}\, df\]- 정변환과 역변환은 지수의 부호만 다름 → 뒤에서 나오는 쌍대성의 근거
- 이 글에서는 \(g(t) \rightleftharpoons G(f)\)로 변환쌍을 표기
푸리에 변환이 존재하기 위한 충분조건: 디리클레 조건(Dirichlet’s conditions)
- \(g(t)\)는 단일 값을 가지며, 유한한 시간 구간 안에서 극대·극소점의 개수가 유한함
- \(g(t)\)는 유한한 시간 구간 안에서 불연속점의 개수가 유한함
- \(g(t)\)는 절대 적분 가능함
- 충분조건이라서 만족하지 않아도 변환이 존재할 수 있음
- 예: \(\cos\), 직류 1, \(\mathrm{sgn}(t)\), \(u(t)\)는 절대 적분 불가능하지만 델타 함수를 써서 변환을 정의함 (뒤에서 다룸)
각주파수와 복소 정현파
각주파수
\[\omega = 2\pi f \quad [\text{rad/s}]\]오일러 공식과 복소 정현파
\[e^{jx} = \cos x + j \sin x, \qquad \cos x = \frac{e^{jx} + e^{-jx}}{2}, \qquad \sin x = \frac{e^{jx} - e^{-jx}}{2j}\]- 실수 코사인 하나 = 양의 주파수와 음의 주파수에 있는 복소 지수 두 개의 합
- 그래서 스펙트럼에 음의 주파수가 나타남
진폭 스펙트럼, 위상 스펙트럼, 켤레 대칭
푸리에 변환 \(G(f)\)는 \(f\)에 대한 복소 함수
\[G(f) = \lvert G(f) \rvert\, e^{j\theta(f)}\]| 기호 | 의미 | numpy |
|---|---|---|
| \(\lvert G(f) \rvert\) | \(g(t)\)의 진폭(amplitude) 스펙트럼 | np.abs() |
| \(\theta(f)\) | \(g(t)\)의 위상(phase) 스펙트럼 | np.angle() |
복소 켤레 대칭 (Conjugate Symmetry)
\(g(t)\)가 실수 함수이면
\[G(-f) = G^*(f) \qquad (\ast: \text{복소 켤레})\]| 성질 | 의미 |
|---|---|
| \(\lvert G(-f) \rvert = \lvert G(f) \rvert\) | 진폭은 주파수에 대해 좌우 대칭 (우함수) |
| \(\theta(-f) = -\theta(f)\) | 위상은 원점 대칭 (기함수) |
증명: \(g(t)\)가 실수이면 \(g^*(t) = g(t)\)이므로
\[G^*(f) = \left[ \int_{-\infty}^{\infty} g(t)\, e^{-j2\pi f t}\, dt \right]^* = \int_{-\infty}^{\infty} g(t)\, e^{+j2\pi f t}\, dt = G(-f)\]- 실수 신호의 스펙트럼은 양의 주파수 쪽만 알면 음의 주파수 쪽은 자동으로 결정됨
- 그래서 앞의 그림처럼 단측(single-sided) 스펙트럼으로 그려도 정보가 빠지지 않음
켤레 규칙 (Conjugation Rule)
\[g(t) \rightleftharpoons G(f) \quad \Longrightarrow \quad g^*(t) \rightleftharpoons G^*(-f)\]푸리에 변환의 성질
| 성질 | 시간 영역 | 주파수 영역 |
|---|---|---|
| 선형성 (중첩) | \(c_1 g_1(t) + c_2 g_2(t)\) | \(c_1 G_1(f) + c_2 G_2(f)\) |
| 팽창 (시간 척도) | \(g(at)\) | \(\dfrac{1}{\lvert a \rvert} G\!\left(\dfrac{f}{a}\right)\) |
| 쌍대성 (Duality) | \(G(t)\) | \(g(-f)\) |
| 시간 이동 | \(g(t - t_0)\) | \(G(f)\, e^{-j2\pi f t_0}\) |
| 주파수 이동 | \(g(t)\, e^{j2\pi f_c t}\) | \(G(f - f_c)\) |
| \(g(t)\)의 면적 | \(\int g(t)\, dt\) | \(G(0)\) |
| \(G(f)\)의 면적 | \(g(0)\) | \(\int G(f)\, df\) |
| 시간 미분 | \(\dfrac{d^n}{dt^n} g(t)\) | \((j2\pi f)^n G(f)\) |
| 시간 적분 | \(\int_{-\infty}^{t} g(\tau)\, d\tau\) | \(\dfrac{G(f)}{j2\pi f} + \dfrac{G(0)}{2}\delta(f)\) |
| 변조 (곱셈) | \(g_1(t)\, g_2(t)\) | \(G_1(f) * G_2(f)\) |
| 컨볼루션 | \(g_1(t) * g_2(t)\) | \(G_1(f)\, G_2(f)\) |
선형성 (Linearity, Superposition)
\[\mathcal{F}[c_1 g_1(t) + c_2 g_2(t)] = c_1 \int g_1(t) e^{-j2\pi f t} dt + c_2 \int g_2(t) e^{-j2\pi f t} dt = c_1 G_1(f) + c_2 G_2(f)\]- 적분이 선형이므로 바로 성립
- 강의 자료 10·12쪽에 \(c_1 G_1(f) + c_2 G_1(f)\)로 된 부분은 \(c_1 G_1(f) + c_2 G_2(f)\)의 오타
팽창 (Dilation, Time Scaling)
\[g(at) \rightleftharpoons \frac{1}{\lvert a \rvert} G\!\left(\frac{f}{a}\right)\]유도: \(u = at\)로 치환하면 \(dt = du / a\)
\[\int_{-\infty}^{\infty} g(at)\, e^{-j2\pi f t}\, dt = \frac{1}{\lvert a \rvert} \int_{-\infty}^{\infty} g(u)\, e^{-j2\pi (f/a) u}\, du = \frac{1}{\lvert a \rvert} G\!\left(\frac{f}{a}\right)\]- \(a > 0\)이면 적분 구간이 그대로, \(a < 0\)이면 구간이 뒤집혀서 부호가 바뀌므로 \(\lvert a \rvert\)가 됨
- 특히 \(a = -1\)이면 시간 반전: \(g(-t) \rightleftharpoons G(-f)\)
- 예: \(s(2t) \rightleftharpoons \frac{1}{2} S\!\left(\frac{f}{2}\right)\) → 시간에서 2배 압축 = 주파수에서 2배 확장 + 높이 1/2
쌍대성 (Duality)
\[g(t) \rightleftharpoons G(f) \quad \Longrightarrow \quad G(t) \rightleftharpoons g(-f)\]유도:
\[\int_{-\infty}^{\infty} G(t)\, e^{-j2\pi f t}\, dt = \int\!\!\int g(\tau)\, e^{-j2\pi t (f + \tau)}\, d\tau\, dt = \int g(\tau)\, \delta(\tau + f)\, d\tau = g(-f)\]- 정변환과 역변환이 지수 부호만 다른 같은 꼴이라서, 아는 변환쌍의 시간과 주파수를 바꿔서 새 변환쌍을 얻을 수 있음
시간 이동과 주파수 이동
시간 이동 (Time Shifting): \(u = t - t_0\)로 치환
\[\int g(t - t_0)\, e^{-j2\pi f t}\, dt = e^{-j2\pi f t_0} \int g(u)\, e^{-j2\pi f u}\, du = G(f)\, e^{-j2\pi f t_0}\]- 시간 이동은 진폭 스펙트럼은 그대로, 위상만 \(-2\pi f t_0\)만큼 바꿈
주파수 이동 (Frequency Shifting): \(v = f - f_c\)로 치환
\[\int G(f - f_c)\, e^{j2\pi f t}\, df = e^{j2\pi f_c t} \int G(v)\, e^{j2\pi v t}\, dv = g(t)\, e^{j2\pi f_c t}\]- 신호에 \(e^{j2\pi f_c t}\)를 곱하면 스펙트럼이 \(f_c\)만큼 옮겨짐 → 변조의 수학적 원리
면적 성질
\[\int_{-\infty}^{\infty} g(t)\, dt = G(0), \qquad g(0) = \int_{-\infty}^{\infty} G(f)\, df\]- 정의식에 \(f = 0\) 또는 \(t = 0\)을 넣으면 \(e^0 = 1\)이 되어 바로 나옴
- 손으로 구한 변환이 맞는지 검산할 때 매우 유용함
시간 영역 미분
\[\frac{d}{dt} g(t) = \frac{d}{dt} \int G(f)\, e^{j2\pi f t}\, df = \int (j2\pi f)\, G(f)\, e^{j2\pi f t}\, df \quad \Longrightarrow \quad \frac{d}{dt} g(t) \rightleftharpoons j2\pi f\, G(f)\]- \(n\)번 미분하면 \((j2\pi f)^n G(f)\)
- 미분은 높은 주파수 성분을 키움 (곱해지는 \(f\)가 클수록 커짐)
시간 영역 적분
\(x(t) = \int_{-\infty}^{t} g(\tau)\, d\tau\)로 두면 \(\dfrac{d}{dt} x(t) = g(t)\)이므로 \(j2\pi f\, X(f) = G(f)\)
\[\int_{-\infty}^{t} g(\tau)\, d\tau \rightleftharpoons \frac{1}{j2\pi f} G(f) + \frac{G(0)}{2} \delta(f)\]- 강의 자료 30쪽은 \(\frac{1}{j2\pi f} G(f)\)까지만 나와 있는데, 이것은 \(G(0) = 0\)일 때의 형태
- \(G(0) \neq 0\)(면적이 0이 아님)이면 적분 결과에 직류 성분이 남으므로 \(\frac{G(0)}{2}\delta(f)\) 항이 필요함
- 예: \(\delta(t)\)를 적분하면 \(u(t)\)인데, \(u(t) \rightleftharpoons \frac{1}{j2\pi f} + \frac{1}{2}\delta(f)\) (뒤에서 유도)
변조 정리 (Modulation Theorem): 시간 영역의 곱셈
\[g_1(t)\, g_2(t) \rightleftharpoons \int_{-\infty}^{\infty} G_1(\lambda)\, G_2(f - \lambda)\, d\lambda \equiv G_1(f) * G_2(f)\]유도: \(g_2(t)\)를 역변환 꼴로 쓰고 적분 순서를 바꿈
\[\mathcal{F}[g_1 g_2] = \int\!\!\int e^{-j2\pi (f - k) t} g_1(t)\, dt\, G_2(k)\, dk = \int G_1(f - k)\, G_2(k)\, dk = G_1(f) * G_2(f)\]컨볼루션 정리 (Convolution Theorem): 시간 영역의 컨볼루션
\[g_1(t) * g_2(t) \rightleftharpoons G_1(f)\, G_2(f)\]- 시간에서 곱셈 ↔ 주파수에서 컨볼루션, 시간에서 컨볼루션 ↔ 주파수에서 곱셈
- 뒤 장의 LTI 시스템(출력 = 입력 \(*\) 임펄스 응답)과 변조(신호 × 반송파)의 핵심 도구
레일리 에너지 정리 (Rayleigh’s Energy Theorem, Parseval)
\[E = \int_{-\infty}^{\infty} \lvert g(t) \rvert^2\, dt = \int_{-\infty}^{\infty} \lvert G(f) \rvert^2\, df\]- 에너지 보존: 시간 영역에서 잰 에너지 = 주파수 영역에서 잰 에너지
- \(\lvert G(f) \rvert^2\)를 에너지 스펙트럼 밀도라고 함
쉬운 설명
- 시간 이동은 위상만 바꾸고, 주파수 이동(복소 지수 곱하기)은 스펙트럼 위치를 옮김
- 시간에서 좁히면 주파수에서 넓어짐 (팽창 성질)
- 곱하기와 컨볼루션은 영역을 바꾸면 서로 자리를 바꿈
- 면적 성질과 에너지 정리는 계산 결과를 검산할 때 가장 먼저 써 볼 도구
대표적인 변환쌍
사각(구형) 펄스와 sinc 함수
사각 펄스: 폭 \(T\), 진폭 \(A\)
\[\mathrm{rect}(t) = \begin{cases} 1, & \lvert t \rvert < \frac{1}{2} \\ 0, & \lvert t \rvert > \frac{1}{2} \end{cases} \qquad\qquad g(t) = A\, \mathrm{rect}\!\left(\frac{t}{T}\right)\] \[G(f) = \int_{-T/2}^{T/2} A\, e^{-j2\pi f t}\, dt = AT\, \frac{\sin(\pi f T)}{\pi f T} = AT\, \mathrm{sinc}(fT)\]sinc 함수
\[\mathrm{sinc}(\lambda) = \frac{\sin(\pi \lambda)}{\pi \lambda}, \qquad \mathrm{sinc}(0) = 1, \qquad \mathrm{sinc}(n) = 0 \ (n = \pm 1, \pm 2, \ldots)\]- \(\mathrm{sinc}(0)\)은 \(\frac{0}{0}\) 꼴이지만, 로피탈의 정리(분모·분자를 한 번씩 미분)로 \(\frac{\pi \cos(0)}{\pi} = 1\)
- 사각 펄스의 스펙트럼은 중심 로브(main lobe)와 양쪽의 사이드 로브(side lobe)를 갖는 sinc 모양
- 첫 영점은 \(f = \pm 1/T\) → 펄스 폭이 좁을수록 스펙트럼이 넓어짐
- \(G(0) = AT\) = 펄스의 면적 (면적 성질과 일치)
sinc 펄스
\(\mathrm{rect}(f)\)를 역변환하면
\[\int_{-1/2}^{1/2} e^{j2\pi f t}\, df = \frac{e^{j\pi t} - e^{-j\pi t}}{j2\pi t} = \frac{\sin(\pi t)}{\pi t} = \mathrm{sinc}(t) \quad \Longrightarrow \quad \mathrm{sinc}(t) \rightleftharpoons \mathrm{rect}(f)\]팽창 성질을 적용하면
\[x(t) = A\, \mathrm{sinc}(2Wt) \quad \rightleftharpoons \quad X(f) = \frac{A}{2W} \mathrm{rect}\!\left(\frac{f}{2W}\right)\]- 시간에서 무한히 퍼진 sinc 펄스는 주파수에서 \(-W \sim W\)에만 존재 (대역 제한 신호)
sinc 펄스의 에너지 (레일리 에너지 정리 이용)
\[E = A^2 \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{sinc}^2(2Wt)\, dt = \left(\frac{A}{2W}\right)^2 \int_{-W}^{W} 1\, df = \frac{A^2}{2W}\]- 시간 영역에서 \(\mathrm{sinc}^2\)를 직접 적분하기는 어렵지만, 주파수 영역에서는 사각형 넓이만 구하면 됨
- 수치 확인 (\(A = 2\), \(W = 3\)): 수치적분 0.6666, 공식 \(4/6 = 0.6667\)
지수 펄스
단위 계단 함수
\[u(t) = \begin{cases} 1, & t > 0 \\ \frac{1}{2}, & t = 0 \\ 0, & t < 0 \end{cases}\]감소하는 지수 펄스 \(g(t) = e^{-at} u(t)\) (\(a > 0\))
\[G(f) = \int_0^{\infty} e^{-(a + j2\pi f) t}\, dt = \left[ \frac{-1}{a + j2\pi f} e^{-(a + j2\pi f) t} \right]_0^{\infty} = \frac{1}{a + j2\pi f}\]증가하는 지수 펄스 \(g(t) = e^{at} u(-t)\)
\[G(f) = \int_{-\infty}^{0} e^{(a - j2\pi f) t}\, dt = \frac{1}{a - j2\pi f}\]양측 지수 펄스 (좌우 대칭) \(g(t) = e^{-a\lvert t \rvert}\) → 위 두 결과의 합
\[G(f) = \frac{1}{a + j2\pi f} + \frac{1}{a - j2\pi f} = \frac{2a}{a^2 + (2\pi f)^2}\]양측 지수 펄스 (원점 대칭) \(g(t) = e^{-a\lvert t \rvert} \mathrm{sgn}(t)\) → 두 결과의 차
\[G(f) = \frac{1}{a + j2\pi f} - \frac{1}{a - j2\pi f} = \frac{-j4\pi f}{a^2 + (2\pi f)^2}\]
| 신호 | 대칭 | 스펙트럼 |
|---|---|---|
| \(e^{-at}u(t)\) | 대칭 없음 | 복소수 (진폭 우함수, 위상 기함수) |
| \(e^{-a\lvert t \rvert}\) | 실수·우함수 | 실수·우함수 |
| \(e^{-a\lvert t \rvert}\,\mathrm{sgn}(t)\) | 실수·기함수 | 순허수·기함수 |
- 수치 확인 (\(a = 2\), \(f = 0.4\)): 좌우 대칭은 \(0.38773\), 원점 대칭은 \(-0.48723j\)로 공식과 일치
- 강의 자료 25·26쪽의 경우 분기 중 \(t = 1\)로 표기된 줄은 \(t = 0\)의 오타 (원점 대칭 펄스와 \(\mathrm{sgn}(t)\)의 \(t = 0\) 값은 0)
델타 함수와 관련 변환쌍
디랙 델타 함수 (Dirac Delta Function)
- 영국 물리학자 Paul Dirac의 이름에서 기원
- 무한히 좁고 무한히 높으며, 넓이가 1인 이상적인 함수
| 성질 | 수식 | 활용 |
|---|---|---|
| 이동(샘플링) 특성 | \(\int g(t)\, \delta(t - t_0)\, dt = g(t_0)\) | 특정 시점의 값 샘플링 |
| 복제 특성 | \(g(t) * \delta(t) = g(t)\) | 컨볼루션의 항등원, 임펄스 응답 |
델타 함수가 필요한 이유
- 직류, \(\cos\), \(\sin\), \(\mathrm{sgn}\), \(u(t)\) 같은 신호는 디리클레 조건을 만족하지 않음 (절대 적분 불가능)
- 델타 함수를 쓰면 이런 신호와 주기 신호(푸리에 급수)도 푸리에 변환의 틀 안에서 다룰 수 있음
- 시스템의 고유 특성인 임펄스 응답을 정의할 때도 사용
델타 관련 변환쌍
| 시간 영역 | 주파수 영역 | 유도 |
|---|---|---|
| \(\delta(t)\) | \(1\) | 이동 특성: \(\int \delta(t) e^{-j2\pi f t} dt = e^0 = 1\) |
| \(1\) (직류) | \(\delta(f)\) | 쌍대성: \(\delta(-f) = \delta(f)\) |
| \(e^{j2\pi f_c t}\) | \(\delta(f - f_c)\) | 주파수 이동: \(1 \times e^{j2\pi f_c t}\) |
| \(\cos(2\pi f_c t)\) | \(\frac{1}{2}[\delta(f - f_c) + \delta(f + f_c)]\) | 오일러 공식 + 위 결과 |
| \(\sin(2\pi f_c t)\) | \(\frac{1}{2j}[\delta(f - f_c) - \delta(f + f_c)]\) | 오일러 공식 + 위 결과 |
- 시간에서 한 점에 몰린 신호(\(\delta\))는 주파수에서 모든 성분이 똑같이 퍼짐, 반대도 마찬가지
- 강의 자료 49~52쪽의 \(\cos(j2\pi f_c t)\), \(\sin(j2\pi f_c t)\)는 \(\cos(2\pi f_c t)\), \(\sin(2\pi f_c t)\)의 오타 (각도 안에 \(j\)가 들어가지 않음)
부호 함수 (Signum Function)
\[\mathrm{sgn}(t) = \begin{cases} +1, & t > 0 \\ 0, & t = 0 \\ -1, & t < 0 \end{cases}\]- 디리클레 조건을 만족하지 않으므로, 원점 대칭 양측 지수 펄스에서 \(a \to 0\)으로 극한을 취함
단위 계단 함수 (Unit Step Function)
\[u(t) = \frac{1}{2}[\mathrm{sgn}(t) + 1] \quad \Longrightarrow \quad u(t) \rightleftharpoons \frac{1}{j2\pi f} + \frac{1}{2}\delta(f)\]- 선형성으로 \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{j\pi f} + \frac{1}{2}\delta(f)\)
- \(\frac{1}{2}\delta(f)\)는 \(u(t)\)의 평균값(직류 성분) 1/2에 해당
시간과 주파수의 역관계, 대역폭
시간과 주파수 간의 역관계
- 신호가 시간 영역에서 좁아지면, 주파수 영역에서는 넓어짐 (반대도 마찬가지)
- 주파수가 엄격히 제한된 신호(예: \(\delta(f)\))는 시간 영역에서 무한히 퍼짐
- ⭐️ 신호는 시간과 주파수 모두에서 동시에 엄격히 제한될 수 없음 ⭐️
- 예: 시간 제한된 사각 펄스의 스펙트럼(sinc)은 무한히 퍼짐
대역폭 (Bandwidth)
대역폭: 신호가 양의 주파수 영역에서 의미 있는 스펙트럼 성분을 갖는 범위
| 정의 | 기준 | 특징 |
|---|---|---|
| 영점간 대역폭 (Null-to-Null) | 중심 로브 양쪽에서 크기가 처음 0이 되는 지점 사이 | 직관적, sinc 모양처럼 영점이 분명할 때 사용 |
| 3-dB 대역폭 (Half-Power) | 전력이 최댓값의 절반(진폭 \(1/\sqrt{2}\))이 되는 지점 | 가장 널리 쓰임, \(10\log_{10}\frac{1}{2} \approx -3\) dB |
| RMS 대역폭 | 전력 스펙트럼의 표준편차 | 스펙트럼이 얼마나 넓게 퍼졌는지를 통계적으로 표현 |
- 예: \(e^{-at}u(t)\)의 전력 스펙트럼 \(\frac{1}{a^2 + 4\pi^2 f^2}\)은 \(f = \frac{a}{2\pi}\)에서 최댓값의 절반 → 3-dB 대역폭 \(= a/2\pi\)
- 사각 펄스는 영점이 분명하지만, 지수 펄스처럼 영점이 없는 스펙트럼에는 영점간 대역폭을 쓸 수 없음
시간-대역폭 곱 (Time-Bandwidth Product)
\[(\text{신호의 지속 시간}) \times (\text{대역폭}) = \text{상수}\]- 예: 폭 \(T\)인 사각 펄스의 영점간 대역폭은 \(1/T\) → 곱은 항상 1
- 통신 관점: 데이터를 빨리 보내려면 비트 하나당 시간을 줄여야 함 → 더 넓은 대역폭이 필요 → 초고속 통신에는 넓은 대역폭이 필요함
주기 신호와 푸리에 급수
푸리에 급수 (Fourier Series)
주기 \(T_0\)인 주기 신호는 기본 주파수 \(f_0 = 1/T_0\)과 그 고조파(harmonics) \(nf_0\)의 합으로 표현됨
\[g_{T_0}(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n\, e^{j2\pi n f_0 t}, \qquad c_n = \frac{1}{T_0} \int_{-T_0/2}^{T_0/2} g_{T_0}(t)\, e^{-j2\pi n f_0 t}\, dt\]삼각함수 형태로 쓰면
\[g_{T_0}(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos(2\pi n f_0 t) + b_n \sin(2\pi n f_0 t) \right]\]- 강의 자료 59쪽의 복소 지수 형태는 합이 \(n = 1\)부터로 되어 있는데, \(n = -\infty\)부터 \(\infty\)까지가 맞음
주기 신호의 푸리에 변환
한 주기만 잘라 낸 펄스 \(g(t)\)를 \(T_0\)마다 반복하면 \(g_{T_0}(t) = \sum_m g(t - mT_0)\)이고
\[c_n = \frac{1}{T_0} \int_{-T_0/2}^{T_0/2} g_{T_0}(t)\, e^{-j2\pi n f_0 t}\, dt = f_0 \int_{-\infty}^{\infty} g(t)\, e^{-j2\pi n f_0 t}\, dt = f_0\, G(nf_0)\]\(e^{j2\pi n f_0 t} \rightleftharpoons \delta(f - nf_0)\)를 쓰면
\[\sum_{m=-\infty}^{\infty} g(t - mT_0) \quad \rightleftharpoons \quad f_0 \sum_{n=-\infty}^{\infty} G(nf_0)\, \delta(f - nf_0)\]
- ⭐️ 주기 신호의 스펙트럼은 \(f_0\)와 그 고조파에서만 값이 존재 → 이산적인 선 스펙트럼 ⭐️
- 각 선의 크기는 한 주기 펄스의 스펙트럼 \(f_0 G(f)\)를 포락선(envelope)으로 따름
이상적인 샘플링 함수 (Dirac Comb)
일정한 간격의 델타 함수열
\[\delta_{T_0}(t) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} \delta(t - mT_0) \quad \rightleftharpoons \quad f_0 \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(f - nf_0)\]- 위 공식에서 \(g(t) = \delta(t)\)로 두면 \(G(nf_0) = 1\)이므로 바로 나옴
- 시간 간격 \(T_0\)의 델타열 ↔ 주파수 간격 \(f_0 = 1/T_0\)의 델타열
- 뒤에서 배우는 샘플링 이론의 기초
연습문제 풀이
과제 1(2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.27)과 과제 2(2.5, 2.8, 2.9, 2.19, 2.24) 중 푸리에 변환 단원에 해당하는 문제만 정리함. 모든 최종 답은 수치적분으로 다시 확인함
연습문제 2.1 감쇠 사인파의 푸리에 변환
문제: \(g(t) = e^{-t}\sin(2\pi f_c t)\, u(t)\)의 푸리에 변환을 구하라
풀이
① \(u(t)\) 때문에 적분 구간이 \(0 \sim \infty\)로 줄어들고, \(\sin\)을 오일러 공식으로 나눔
\[G(f) = \frac{1}{2j} \int_0^{\infty} \left[ e^{(j2\pi(f_c - f) - 1)t} - e^{-(j2\pi(f_c + f) + 1)t} \right] dt\]② \(t \to \infty\)에서 \(e^{-t}\) 때문에 각 항이 0으로 가므로
\[G(f) = \frac{1}{2j} \left[ \frac{1}{1 - j2\pi(f_c - f)} - \frac{1}{1 + j2\pi(f_c + f)} \right]\]③ 통분하면 분자는 \(j4\pi f_c\), 분모는
\[\big(1 - j2\pi(f_c - f)\big)\big(1 + j2\pi(f_c + f)\big) = 1 + j4\pi f + 4\pi^2 (f_c^2 - f^2)\]답
\[G(f) = \frac{2\pi f_c}{1 + 4\pi^2 (f_c^2 - f^2) + j4\pi f} = \frac{2\pi f_c}{(1 + j2\pi f)^2 + (2\pi f_c)^2}\]다른 풀이: \(e^{-t}u(t) \rightleftharpoons \frac{1}{1 + j2\pi f}\)에 주파수 이동 성질을 적용해도 같은 결과
(중요!!) 수업 슬라이드와 다른 점
- 슬라이드는 ③의 분모를 \(1 - (j2\pi)^2 (f_c - f)^2\)으로 써서 답을 \(\frac{2\pi f_c}{1 + 4\pi^2 (f_c - f)^2}\)로 적음
- 하지만 두 괄호 안의 값이 \((f_c - f)\), \((f_c + f)\)로 서로 다르므로 \((1 - x)(1 + x) = 1 - x^2\) 꼴이 아님
- 슬라이드 식은 항상 실수인데, \(g(t)\)는 우함수가 아니므로 \(G(f)\)가 항상 실수일 수 없음
- 수치 확인 (\(f_c = 1.5\), \(f = 0.7\)): 수치적분 \(0.13167 - j0.01643\) = 정정한 식, 슬라이드 식은 \(0.3588\)
- 위 그림처럼 정정한 식은 수치적분 점과 정확히 겹치고, 슬라이드 식은 실수부부터 크게 벗어남
검산: \(G(0) = \frac{2\pi f_c}{1 + 4\pi^2 f_c^2}\) = \(\int_0^\infty e^{-t}\sin(2\pi f_c t)\, dt\) (면적 성질)
연습문제 2.2 진폭·위상 스펙트럼의 역 푸리에 변환
문제: 진폭은 \(-W < f < W\)에서 1, 위상은 음의 주파수에서 \(+\pi/2\), 양의 주파수에서 \(-\pi/2\)인 \(G(f)\)의 역변환을 구하라
풀이
① \(G(f) = \lvert G(f) \rvert e^{j\theta(f)}\)로 복소 함수를 만듦 (\(e^{\pm j\pi/2} = \pm j\))
\[G(f) = \begin{cases} j, & -W < f < 0 \\ -j, & 0 < f < W \\ 0, & \lvert f \rvert > W \end{cases}\]② 구간을 나눠 역변환 (\(f\)로 적분하므로 \(t\)는 상수)
\[g(t) = \int_{-W}^{0} j\, e^{j2\pi f t}\, df + \int_0^{W} (-j)\, e^{j2\pi f t}\, df = \frac{1}{2\pi t}\left[ 2 - e^{j2\pi W t} - e^{-j2\pi W t} \right]\]답
\[g(t) = \frac{1 - \cos(2\pi W t)}{\pi t} = \frac{2\sin^2(\pi W t)}{\pi t}\]
검산
- \(G(f)\)가 순허수·기함수이므로 \(g(t)\)는 실수·기함수 → 구한 식도 실수·기함수
- \(g(0) = \int G(f)\, df = jW - jW = 0\) (면적 성질)
- 수치 확인 (\(W = 1\), \(t = 0.3\)): 수치적분 1.38891 = 공식 1.38891
- 참고: 양의 주파수에서 \(-90°\), 음의 주파수에서 \(+90°\)인 \(-j\,\mathrm{sgn}(f)\)는 힐베르트 변환의 전달함수
연습문제 2.3, 2.4 실수 신호의 면적 성질
문제: 실수 \(g(t)\)와 복소 \(G(f)\)에 대해 \(\int g(t)\, dt = G(0)\) (2.3)과 \(g(0) = \int G(f)\, df\) (2.4)가 어떻게 성립하는지 설명하라
2.3 풀이
오일러 공식으로 실수부와 허수부를 나누면
\[G(f) = \int g(t)\cos(2\pi f t)\, dt - j \int g(t)\sin(2\pi f t)\, dt\]\(f = 0\)을 넣으면 \(\sin 0 = 0\)이므로 허수부가 사라지고, 실수부는 \(g(t)\)의 면적이 됨
- 켤레 대칭으로도 같은 결론: \(G(-f) = G^*(f)\)에 \(f = 0\)을 넣으면 \(G(0) = G^*(0)\) → \(G(0)\)은 실수
- 따라서 “실수인 면적 = 실수인 \(G(0)\)“으로 모순 없이 성립
2.4 풀이
실수 \(g(t)\)이면 \(\mathrm{Re}\,G(f)\)는 우함수, \(\mathrm{Im}\,G(f)\)는 기함수
\[g(0) = \int_{-\infty}^{\infty} G(f)\, df = \int \mathrm{Re}\,G(f)\, df + j \underbrace{\int \mathrm{Im}\,G(f)\, df}_{= 0 \ (\text{기함수})}\]- 허수부는 대칭 구간 적분에서 양수 쪽과 음수 쪽이 상쇄되어 0
- 따라서 \(\int G(f)\, df\)는 실수이고 \(g(0)\)과 같음
| \(g(t)\) | \(G(f)\)의 성질 | \(G(0)\) |
|---|---|---|
| 실수 | 실수부 우함수, 허수부 기함수 | 실수 |
| 실수·우함수 | 실수·우함수 | 실수 |
| 실수·기함수 | 순허수·기함수 | 0 |
주의: \(g(t)\)가 \(t = 0\)에서 불연속이면 \(g(0) = \frac{1}{2}[g(0^+) + g(0^-)]\) → 그래서 \(u(0) = \frac{1}{2}\)로 정의함
연습문제 2.27 계단 모양 \(G(f)\)의 역변환
문제: \(G(f) = 1\ (f > 0)\), \(\frac{1}{2}\ (f = 0)\), \(0\ (f < 0)\), 즉 \(G(f) = u(f)\)일 때 \(g(t)\)를 구하라
풀이
① 먼저 \(u(t) \rightleftharpoons \frac{1}{j2\pi f} + \frac{1}{2}\delta(f)\)를 구함
- 직접 적분하면 \(f \neq 0\) 부분인 \(\frac{1}{j2\pi f}\)만 나옴
- 빠진 성분은 면적 성질로 찾음: \(u(0) = \frac{1}{2}\)인데 \(\frac{1}{j2\pi f}\)는 기함수라 면적이 0 → \(\frac{1}{2}\delta(f)\)가 필요
- 또는 \(u(t) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\mathrm{sgn}(t)\)로 분해해도 같은 결과
② 쌍대성 \(G(t) \rightleftharpoons g(-f)\)를 적용
\[\frac{1}{j2\pi t} + \frac{1}{2}\delta(t) \rightleftharpoons u(-f)\]③ 원하는 것은 \(u(f)\)이므로 시간 반전 (\(t \to -t\), \(\delta(-t) = \delta(t)\), \(\frac{1}{j} = -j\))
답
\[g(t) = \frac{1}{2}\delta(t) + \frac{j}{2\pi t}\]- \(G(f)\)가 양의 주파수에만 있으므로 \(G(-f) \neq G^*(f)\) → \(g(t)\)는 반드시 복소수
- 슬라이드 3은 쌍대성 결과를 \(-\frac{1}{j2\pi f} + \frac{1}{2}\delta(f) \rightleftharpoons u(f)\)로 적었는데, 왼쪽은 시간 함수이므로 변수가 \(t\)여야 함
- 슬라이드의 \(\int_0^\infty e^{-j2\pi f t} dt\)에서 \(e^{-\infty} = 0\)으로 처리한 부분은 엄밀하지 않음 (\(\lvert e^{-j2\pi f t} \rvert = 1\)이라 진동할 뿐 0으로 가지 않음)
연습문제 2.5 변조 정리와 컨볼루션 정리의 쌍대 관계
문제: 변조 정리와 컨볼루션 정리가 서로 쌍대 관계임을 보여라
풀이
① 컨볼루션 정리 \(g_1 * g_2 \rightleftharpoons G_1 G_2\)에서 시작. 새 시간 함수 \(x_1(t) = G_1(t)\), \(x_2(t) = G_2(t)\)를 두면, 쌍대성에 의해 \(X_1(f) = g_1(-f)\), \(X_2(f) = g_2(-f)\)
② \(x_1, x_2\)에 컨볼루션 정리 적용
\[G_1(t) * G_2(t) \rightleftharpoons g_1(-f)\, g_2(-f)\]③ 쌍대성을 한 번 더 적용
\[g_1(-t)\, g_2(-t) \rightleftharpoons (G_1 * G_2)(-f)\]④ 시간 반전 (\(t \to -t\), \(f \to -f\))
\[g_1(t)\, g_2(t) \rightleftharpoons G_1(f) * G_2(f) \quad (\text{변조 정리})\]| 시간 영역 | 주파수 영역 | |
|---|---|---|
| 컨볼루션 정리 | \(g_1 * g_2\) (컨볼루션) | \(G_1 G_2\) (곱셈) |
| 변조 정리 | \(g_1 g_2\) (곱셈) | \(G_1 * G_2\) (컨볼루션) |
- 정변환과 역변환이 지수 부호만 다른 같은 꼴이라서, 곱셈과 컨볼루션이 영역을 바꾸면 자리를 바꿈
- 예: \(\mathrm{rect} * \mathrm{rect} = \Lambda\) (삼각형) \(\rightleftharpoons \mathrm{sinc}^2\), \(\mathrm{sinc} \cdot \mathrm{sinc} = \mathrm{sinc}^2 \rightleftharpoons \mathrm{rect} * \mathrm{rect} = \Lambda\)
연습문제 2.8 \(\int \mathrm{sinc}^2(t)\, dt = 1\)
문제: \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{sinc}^2(t)\, dt = 1\)임을 보여라
풀이: \(\mathrm{sinc}^2\)는 초등함수로 된 부정적분이 없으므로 주파수 영역으로 옮김
\(\mathrm{sinc}(t) \rightleftharpoons \mathrm{rect}(f)\)와 레일리 에너지 정리를 쓰면 (\(\mathrm{rect}^2 = \mathrm{rect}\))
\[\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{sinc}^2(t)\, dt = \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{rect}^2(f)\, df = \int_{-1/2}^{1/2} 1\, df = 1\]- 앞의 sinc 펄스 에너지 \(E = A^2/(2W)\)에서 \(A = 1\), \(2W = 1\)로 둔 것과 같음
- 수치 확인: \(\int_{-2000}^{2000} \mathrm{sinc}^2(t)\, dt = 0.99995\) (잘린 꼬리 부분 ≈ 0.0001)
- 다른 풀이: \(\mathrm{sinc}^2 \rightleftharpoons \mathrm{rect} * \mathrm{rect} = \Lambda(f)\)이고, 면적 성질로 \(\Lambda(0) = 1\)
연습문제 2.9 사인파 제곱의 푸리에 변환
문제: (i) \(g(t) = \cos^2(2\pi f_c t)\), (ii) \(g(t) = \sin^2(2\pi f_c t)\)의 변환을 구하라
풀이: 배각 공식으로 직류 + 2배 주파수 코사인으로 바꿈
\[\cos^2\theta = \frac{1}{2}(1 + \cos 2\theta), \qquad \sin^2\theta = \frac{1}{2}(1 - \cos 2\theta)\]답
\[\text{(i)}\ \ G(f) = \frac{1}{2}\delta(f) + \frac{1}{4}\delta(f - 2f_c) + \frac{1}{4}\delta(f + 2f_c)\] \[\text{(ii)}\ \ G(f) = \frac{1}{2}\delta(f) - \frac{1}{4}\delta(f - 2f_c) - \frac{1}{4}\delta(f + 2f_c)\]검산
- \(\cos^2 + \sin^2 = 1\)이므로 두 스펙트럼의 합은 \(\delta(f)\) → \(\pm\frac{1}{4}\) 항은 상쇄, \(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\) ✓
- 델타 계수의 합 \(= g(0)\): \(\cos^2\)는 \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1 = \cos^2 0\), \(\sin^2\)는 \(\frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0 = \sin^2 0\) ✓
- 제곱하면 주파수가 \(f_c\)에서 \(2f_c\)로 두 배가 되고 직류 성분이 생김 → 뒤 장의 동기 검파와 연결됨
연습문제 2.19 반코사인·반사인 펄스의 스펙트럼
문제: (a) 반코사인 펄스, (b) 반사인 펄스 \([0, T]\), (c) 길이 \(aT\)인 반사인 펄스, (d) 음의 반사인 펄스 \([-T, 0]\), (e) 한 주기 사인 펄스 \([-T, T]\)의 스펙트럼을 구하라
공통 기호: \(S(f) \equiv \mathrm{sinc}\!\left(fT - \frac{1}{2}\right) + \mathrm{sinc}\!\left(fT + \frac{1}{2}\right) = \dfrac{4\cos(\pi f T)}{\pi(1 - 4f^2 T^2)}\)
(a) 반코사인: 펄스를 코사인 × 사각 창으로 보고 변조 정리 적용
\[g_a(t) = A\cos\!\left(\frac{\pi t}{T}\right)\mathrm{rect}\!\left(\frac{t}{T}\right) \quad \Longrightarrow \quad G_a(f) = \frac{AT}{2} S(f) = \frac{2AT\cos(\pi f T)}{\pi(1 - 4f^2 T^2)}\](b) 반사인: (a)를 오른쪽으로 \(T/2\) 이동 → 시간 이동 성질
\[G_b(f) = G_a(f)\, e^{-j\pi f T}\](c) 길이 \(aT\): (b)를 시간축으로 \(a\)배 늘림 → 팽창 성질
\[G_c(f) = \frac{aAT}{2}\left[ \mathrm{sinc}\!\left(afT - \tfrac{1}{2}\right) + \mathrm{sinc}\!\left(afT + \tfrac{1}{2}\right) \right] e^{-j\pi a f T}\](d) 음의 반사인: (a)를 왼쪽으로 \(T/2\) 이동하고 부호를 뒤집음
\[G_d(f) = -G_a(f)\, e^{+j\pi f T}\](e) 한 주기 사인: (b) + (d), 선형성과 \(e^{-jx} - e^{jx} = -2j\sin x\)
\[G_e(f) = -jAT\, S(f)\sin(\pi f T) = -j\frac{2AT\sin(2\pi f T)}{\pi(1 - 4f^2 T^2)}\]
- (a), (b), (d)는 시간 이동과 부호만 다르므로 진폭 스펙트럼이 같고 위상만 다름
- (c)는 시간에서 길어진 만큼 주파수에서 좁고 높아짐 (팽창 성질)
- (e)는 실수·기함수이므로 순허수·기함수, 면적이 0이라 \(G_e(0) = 0\)
(중요!!) 수업 슬라이드와 다른 점 (2.19(c))
- 슬라이드: \(\frac{\lvert a \rvert AT}{2}\left[\mathrm{sinc}\!\left(afT \mp \frac{1}{2T}\right)\right] e^{-j2\pi f aT}\)
- 정정 ①: sinc 안의 \(\frac{1}{2T}\) → \(\frac{1}{2}\) (\(afT\)는 단위가 없는 수인데 \(\frac{1}{2T}\)는 단위가 1/s라서 더할 수 없음)
- 정정 ②: \(e^{-j2\pi f aT}\) → \(e^{-j\pi f aT}\) (펄스가 \([0, aT]\)에 있으므로 중심 이동량은 \(aT\)가 아니라 \(aT/2\))
- 수치 확인 (\(A = 1.3\), \(T = 0.7\), \(a = 1.6\), \(f = 0.37\)): 수치적분 \(0.20899 - j0.75832\) = 정정한 식, 슬라이드 식 \(-0.46739 - j0.27880\)
- 슬라이드의 (b), (d) 펄스 표기 \(A\cos\!\left(\frac{\pi t}{T} - \frac{T}{2}\right)\)는 각도 안에서 더하는 값이 \(\frac{\pi}{2}\)여야 함 (스펙트럼 결과는 같음)
연습문제 2.24 컨볼루션의 미분·적분 성질
문제: 다음을 보여라
\[\text{(a)}\ \frac{d}{dt}[g_1(t) * g_2(t)] = \left[\frac{d}{dt} g_1(t)\right] * g_2(t) \qquad \text{(b)}\ \int_{-\infty}^{t} [g_1(\tau) * g_2(\tau)]\, d\tau = \left[\int_{-\infty}^{t} g_1(\tau)\, d\tau\right] * g_2(t)\](a) 풀이
- 시간 영역: \(g_1 * g_2 = \int g_1(t - \tau)\, g_2(\tau)\, d\tau\)에서 \(t\)는 \(g_1\)에만 있으므로, 미분을 적분 안으로 넣으면 \(g_1'(t - \tau)\)만 남음
- 주파수 영역: 미분 성질과 컨볼루션 정리로 양변의 변환이 같음
(b) 풀이
- 시간 영역: 적분 순서를 바꾸고 \(s = \tau - \lambda\)로 치환하면 안쪽 적분이 \(h_1(t - \lambda) = \int_{-\infty}^{t-\lambda} g_1(s)\, ds\)가 됨
- 주파수 영역: \(\frac{1}{2}G(0)\delta(f)\) 항까지 포함한 적분 성질을 쓰면, 델타 함수의 성질 \(X(f)\delta(f) = X(0)\delta(f)\)에 의해 양변이 같음
- 수치 확인 (\(g_1 = e^{-t}\), \(g_2 = e^{-\lvert t \rvert}\), \(t = 0.4\)): (a) 양변 \(-0.332228\), (b) 양변 \(2.199531\)로 일치
강의 자료·풀이에서 정정한 부분 정리
| 위치 | 강의 자료·슬라이드 | 정정 | 이유 |
|---|---|---|---|
| 연습문제 2.1 | 분모 \(1 + 4\pi^2 (f_c - f)^2\) | 분모 \((1 + j2\pi f)^2 + (2\pi f_c)^2\) | 두 괄호의 주파수가 달라 합차 공식을 쓸 수 없음, 결과가 달라짐 |
| 연습문제 2.19(c) | \(\mathrm{sinc}(afT \mp \frac{1}{2T})\, e^{-j2\pi f aT}\) | \(\mathrm{sinc}(afT \mp \frac{1}{2})\, e^{-j\pi f aT}\) | 단위 불일치, 지연은 \(aT/2\), 결과가 달라짐 |
| 연습문제 2.19(b), (d) | 각도에 \(\frac{T}{2}\)를 더함 | 각도에 \(\frac{\pi}{2}\)를 더함 | 스펙트럼 결과는 같음 |
| 연습문제 2.27 | \(-\frac{1}{j2\pi f} + \frac{1}{2}\delta(f) \rightleftharpoons u(f)\) | \(-\frac{1}{j2\pi t} + \frac{1}{2}\delta(t) \rightleftharpoons u(f)\) | 왼쪽은 시간 함수 |
| 강의 자료 30쪽 | 적분 성질 \(\frac{G(f)}{j2\pi f}\) | \(+\frac{1}{2}G(0)\delta(f)\) 추가 | \(G(0) \neq 0\)일 때 필요 |
| 강의 자료 49~52쪽 | \(\cos(j2\pi f_c t)\), \(\sin(j2\pi f_c t)\) | \(\cos(2\pi f_c t)\), \(\sin(2\pi f_c t)\) | 오타 |
| 강의 자료 10, 12쪽 | \(c_1 G_1 + c_2 G_1\) | \(c_1 G_1 + c_2 G_2\) | 오타 |
| 강의 자료 25, 26쪽 | 경우 분기 \(t = 1\) | \(t = 0\) | 오타 |
| 강의 자료 59쪽 | 복소 급수의 합 \(n = 1\)부터 | \(n = -\infty\)부터 | 음의 주파수 성분 포함 |
최종 핵심 정리
- 푸리에 변환은 \(G(f) = \int g(t)\, e^{-j2\pi f t}\, dt\), 역변환은 지수 부호만 바뀐 같은 꼴 → 쌍대성의 근거
- 실수 신호는 켤레 대칭 \(G(-f) = G^*(f)\) → 진폭은 우함수, 위상은 기함수
- 시간 이동 → 위상 변화, 주파수 이동(복소 지수 곱) → 스펙트럼 위치 이동(변조의 원리)
- 시간에서 곱셈 ↔ 주파수에서 컨볼루션, 시간에서 컨볼루션 ↔ 주파수에서 곱셈
- 사각 펄스 ↔ sinc, 지수 펄스 ↔ \(\frac{1}{a + j2\pi f}\), \(\delta(t) ↔ 1\), \(\cos ↔\) 델타 두 개, \(\mathrm{sgn}(t) ↔ \frac{1}{j\pi f}\), \(u(t) ↔ \frac{1}{j2\pi f} + \frac{1}{2}\delta(f)\)
- 면적 성질(\(G(0)\) = 면적, \(g(0)\) = 스펙트럼 면적)과 레일리 에너지 정리는 계산 검산에 유용
- 시간에서 좁을수록 주파수에서 넓어지며, 시간-대역폭 곱은 일정 → 빠른 통신에는 넓은 대역폭이 필요
- 주기 신호의 스펙트럼은 \(f_0\)의 정수배에만 존재하는 선 스펙트럼이며, 크기는 한 주기 펄스의 스펙트럼을 따름
End.